《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

2.(2025·上海浦东新区建平实验中学期末)因式分解:$2x^{2}-4x+1.$

答案： 原式$= 2(x^2 - 2x) + 1 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1$
$= 2(x^2 - 2x + 1) - 2 + 1 = 2(x - 1)^2 - 1$
$= (\sqrt{2}x - \sqrt{2})^2 - 1 = (\sqrt{2}x - \sqrt{2} + 1)(\sqrt{2}x - \sqrt{2} - 1)$。

变式2.1 分解因式:$x^{2}-6x-3.$

答案： 原式$= x^2 - 6x + 9 - 9 - 3 = (x - 3)^2 - 12$
$= (x - 3)^2 - (2\sqrt{3})^2 = (x - 3 + 2\sqrt{3})(x - 3 - 2\sqrt{3})$。

变式2.2 实验班原创 分解因式:$2x^{2}-3xy-y^{2}.$

答案： 原式$= 2(x^2 - \frac{3}{2}xy + \frac{9}{16}y^2 - \frac{9}{16}y^2) - y^2$
$= 2(x - \frac{3}{4}y)^2 - \frac{17}{8}y^2 = (\sqrt{2}x - \frac{3\sqrt{2}}{4}y)^2 - (\frac{\sqrt{34}}{4}y)^2$
$= (\sqrt{2}x + \frac{\sqrt{34} - 3\sqrt{2}}{4}y)(\sqrt{2}x - \frac{\sqrt{34} + 3\sqrt{2}}{4}y)$。

3.(2025·湖北武汉期末改编)若x为任意实数,求代数式$x^{2}+4x+2$的最小值.

答案： 由题意，得$x^2 + 4x + 2 = (x + 2)^2 - 2$。$\because$对于任意实数$x$，$(x + 2)^2 \geq 0$，$\therefore x^2 + 4x + 2 = (x + 2)^2 - 2 \geq -2$。$\therefore x^2 + 4x + 2$的最小值是$-2$。

变式3.1 (2025·上海徐汇区期末改编)已知多项式$p= a^{2}+2b^{2}+2a+4b+2027$,求p的最小值.

答案： 多项式$p = a^2 + 2b^2 + 2a + 4b + 2027$
$= (a^2 + 2a + 1) + 2(b^2 + 2b + 1) + 2024$
$= (a + 1)^2 + 2(b + 1)^2 + 2024$。
$\because (a + 1)^2 \geq 0$，$2(b + 1)^2 \geq 0$，$\therefore (a + 1)^2 + 2(b + 1)^2 + 2024 \geq 2024$，$\therefore p$的最小值为$2024$。

变式3.2 (2025·宁夏中卫期中)阅读理解并解答:
[方法呈现]
(1)配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用.
例如：$x^{2}+2x+3= (x^{2}+2x+1)+2= (x+1)^{2}+2$,
$\because (x+1)^{2}≥0$
$\therefore (x+1)^{2}+2≥2.$
则这个代数式$x^{2}+2x+3$的最小值为2,这时相应的x的值是-1.
[尝试应用]
(2)求代数式$x^{2}-8x+10$的最小值或最大值.
[拓展提高]
(3)已知a,b,c是$\triangle ABC$的三边长,满足$a^{2}+b^{2}= 10a+8b-41$,求c的取值范围.

答案：
(1)$2$ $-1$
(2)原式$= x^2 - 8x + 16 - 6 = (x - 4)^2 - 6$。
$\because (x - 4)^2 \geq 0$，$\therefore (x - 4)^2 - 6 \geq -6$，
$\therefore$代数式$x^2 - 8x + 10$有最小值$-6$。
(3)由题意，得$a^2 + b^2 - 10a - 8b = -41$，
$\therefore (a - 5)^2 + (b - 4)^2 - 25 - 16 = -41$，
$\therefore (a - 5)^2 + (b - 4)^2 = 0$，
$\therefore a - 5 = 0$，$b - 4 = 0$，$\therefore a = 5$，$b = 4$。
$\because a - b ＜ c ＜ a + b$，$\therefore 1 ＜ c ＜ 9$。