《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. 如图(1),放置两个全等的含有$30^{\circ }$角的直角三角板ABC与DEF($∠B= ∠E= 30^{\circ }$).若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动(点C与点E重合时移动终止),移动过程中始终保持点B,F,C,E在同一条直线上,如图(2),AB与DF,DE分别交于点P,M,AC与DE交于点Q,其中$AC= DF= \sqrt {3}$,设三角板ABC的移动时间为x秒.
(1)在移动过程中,试用含x的代数式表示$△AMQ$的面积.
(2)当x等于多少时,两个三角板重叠部分的面积有最大值?最大值是多少?

答案：

(1)
∵ 在Rt△ABC中，∠B = 30°，
∴∠A = 60°。
∵∠E = 30°，
∴∠EQC = ∠AQM = 60°，
∴△AMQ为等边三角形。
如图，过点M作MN⊥AQ，垂足为N。
在Rt△ABC中，∠B = 30°，AC = $\sqrt{3}$，则BC = 3，
∴EF = BC = 3。
根据题意，知CF = x，
∴CE = EF - CF = 3 - x，则CQ = $\frac{\sqrt{3}}{3}(3 - x)$，
∴AQ = AC - CQ = $\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}(3 - x) = \frac{\sqrt{3}}{3}x$，
∴AM = AQ = $\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
∴MN = $\frac{1}{2}x$，
∴$S_{\triangle AMQ} = \frac{1}{2}AQ \cdot MN = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{3}x \cdot \frac{1}{2}x = \frac{\sqrt{3}}{12}x^{2}$。

(2) 由
(1)，知BF = CE = 3 - x，PF = $\frac{\sqrt{3}}{3}(3 - x)$，
设两个三角板重叠部分的面积为$S_{重叠}$，
∴$S_{重叠} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle AMQ} - S_{\triangle BPF} = \frac{1}{2}AC \cdot BC - \frac{1}{2}AQ \cdot MN - \frac{1}{2}BF \cdot PF = \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{12}x^{2} - \frac{1}{2}(3 - x) \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}(3 - x) = -\frac{\sqrt{3}}{4}x^{2} + \sqrt{3}x = -\frac{\sqrt{3}}{4}(x - 2)^{2} + \sqrt{3}$，
∴当x = 2时，重叠部分面积有最大值，最大值是$\sqrt{3}$。

2. 中考新考法 利润最大化问题 综合与实践:
[问题情境]小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉,为了确定售价,小莹帮妈妈调查了附近A,B,C,D,E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况,记录如下:
| |售价/(元/盆)|日销售量/盆|
|--|--|--|
|A|20|50|
|B|30|30|
|C|18|54|
|D|22|46|
|E|26|38|
[数据整理](1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理,填写在下表中:
 
|售价/(元/盆)| | | | | |
|--|--|--|--|--|--|
|日销售量/盆| | | | | |
[模型建立](2)分析数据的变化规律,找出日销售量与售价间的关系.
[拓广应用](3)根据以上信息,小莹妈妈在销售该种花卉中,
①要想每天获得400元的利润,应如何定价?
②售价定为多少时,每天能够获得最大利润?

答案：
(1) 根据销售单价从小到大排列得下表：
售价/(元/盆) 18 20 22 26 30
日销售量/盆 54 50 46 38 30
(2) 观察表格可知日销售量是售价的一次函数。
设日销售量为y盆，售价为x元/盆，y = kx + b，
把(18, 54)，(20, 50)代入，得$\begin{cases} 18k + b = 54 \\ 20k + b = 50 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = -2 \\ b = 90 \end{cases}$，
∴y = -2x + 90。
(3) ①
∵ 每天获得400元的利润，
∴(x - 15)(-2x + 90) = 400，
解得x = 25或x = 35，
∴要想每天获得400元的利润，应定价为25元/盆或35元/盆。
② 设每天获得的利润为w元，
根据题意，得w = (x - 15)(-2x + 90) = -2x² + 120x - 1350 = -2(x - 30)² + 450。
∵ -2 ＜ 0，
∴ 当x = 30时，w取最大值450，
∴ 售价定为30元/盆时，每天能够获得最大利润450元。

3. 分类讨论思想 已知关于x的函数y,当$t≤x≤t+1$时,函数y的最大值为P,最小值为Q,令函数$g= \frac {P-Q}{2}$,则称函数g为函数y的“关联函数”.
(1)若$y= x+1,t= 0$,求函数y的“关联函数”g的值.$\frac{1}{2}$
(2)若$y= x^{2}-2x+k$.
①当$k= 1,t≤0$时,求函数y的“关联函数”g的最小值;$\frac{1}{2}$
②当函数y的“关联函数”g的值为$\frac {1}{4}$时,求t的值.$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

答案：
(1)
∵ y = x + 1，t = 0，
∴ 当0 ≤ x ≤ 1时，P = 1 + 1 = 2，Q = 0 + 1 = 1，
∴g = $\frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}$。
(2) ① 当k = 1时，y = x² - 2x + 1 = (x - 1)²，
当x ＞ 1时，y随x的增大而增大；
当x ≤ 1时，y随x的增大而减小。
∵ t ≤ 0，
∴ t + 1 ≤ 1，
∴ 当x = t + 1时，Q = (t + 1 - 1)² = t²，当x = t时，P = (t - 1)²，
∴g = $\frac{P - Q}{2} = \frac{(t - 1)^{2} - t^{2}}{2} = -t + \frac{1}{2}$。
∵ t ≤ 0，
∴ 当t = 0时，g有最小值，是$\frac{1}{2}$，
即函数y的“关联函数”g的最小值是$\frac{1}{2}$。
② y = x² - 2x + k = (x - 1)² + k - 1，
∴ 该函数图象的对称轴是直线x = 1，分三种情况：
存在多种情况时，应分类讨论，避免漏解
i) 当t + 1 ≤ 1，即t ≤ 0时，
t ≤ x ≤ t + 1时，y随x的增大而减小，
∴ y的最大值P = t² - 2t + k，y的最小值Q = (t + 1 - 1)² + k - 1 = t² + k - 1，
∴g = $\frac{P - Q}{2} = \frac{t^{2} - 2t + k - t^{2} - k + 1}{2} = \frac{1}{4}$，
解得t = $\frac{1}{4}$（不符合题意，舍去）；
ii) 当t ≥ 1时，t ≤ x ≤ t + 1时，y随x的增大而增大，
∴ y的最小值Q = t² - 2t + k，y的最大值P = (t + 1 - 1)² + k - 1 = t² + k - 1，
∴g = $\frac{P - Q}{2} = \frac{t^{2} + k - 1 - t^{2} + 2t - k}{2} = \frac{1}{4}$，
解得t = $\frac{3}{4}$（舍去）；
iii) 当t ＜ 1 ＜ t + 1，即0 ＜ t ＜ 1时，y的最小值Q = k - 1，当x = t时，y = t² - 2t + k，当x = t + 1时，y = (t + 1 - 1)² + k - 1 = t² + k - 1，
若t² + k - 1 ≥ t² - 2t + k，则t ≥ $\frac{1}{2}$，
∴P = t² + k - 1，
∴g = $\frac{P - Q}{2} = \frac{t^{2} + k - 1 - k + 1}{2} = \frac{1}{4}$，
解得t = $\frac{\sqrt{2}}{2}$（负值已舍去）；
若t² + k - 1 ＜ t² - 2t + k，则t ＜ $\frac{1}{2}$，
∴P = t² - 2t + k，
∴g = $\frac{P - Q}{2} = \frac{t^{2} - 2t + k - k + 1}{2} = \frac{1}{4}$，
解得$t_{1} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$（不符合题意，舍去），$t_{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$。
综上所述，t的值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$。