《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. (2023·吉林中考)一元二次方程$x^{2}-5x+2= 0$根的判别式的值是(C).
A. 33
B. 23
C. 17
D. $\sqrt {17}$

答案： C

2. 教材P17习题T4·变式(2024·自贡中考)关于x的方程$x^{2}+mx-2= 0$根的情况是(A).
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根

答案： A [解析]关于x的方程$x^{2}+mx - 2 = 0$中，
$\because a = 1$，$b = m$，$c = - 2$，$\therefore \Delta = m^{2}+8＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根.故选A.
归纳总结 对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若$\Delta = b^{2}-4ac＞0$，则方程有两个不相等的实数根；若$\Delta = b^{2}-4ac = 0$，则方程有两个相等的实数根；若$\Delta = b^{2}-4ac＜0$，则方程没有实数根.上面的结论反过来也成立.

3. (2024·徐州中考)关于x的方程$x^{2}+kx+1= 0$有两个相等的实数根,则k值为$\pm2$.

答案： $\pm2$

4. 中考新考法 满足结论的条件开放(2023·济南中考)关于x的一元二次方程$x^{2}-4x+2a= 0$有实数根,则a的值可以是____1(答案不唯一)(写出一个即可).

答案： 1(答案不唯一) [解析]
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-4x + 2a = 0$有实数根，$\therefore \Delta = 16 - 8a\geqslant0$，解得$a\leqslant2$，则a的值可以是1.

5. 转化思想(2025·江苏扬州仪征期中)若关于x的一元二次方程$a(x+m)^{2}= n$两根是-3,2,则方程$a(x^{2}+x+m)^{2}-n= 0$的根是$x_{1}=-2$，$x_{2}=1$.

答案： $x_{1}=-2$，$x_{2}=1$ [解析]由题意知，$x^{2}+x = - 3$或$x^{2}+x = 2$.当$x^{2}+x = - 3$，即$x^{2}+x + 3 = 0$时，$\Delta = 1^{2}-4\times1\times3=-11＜0$，无实数根；当$x^{2}+x = 2$，即$x^{2}+x - 2 = 0$时，$\Delta = 1^{2}-4\times1\times(-2)=9＞0$，$\therefore x=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{-1\pm3}{2}$，解得$x_{1}=-2$，$x_{2}=1$.

6. (2025·湖南岳阳期中)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}= 0.$
(1)当m为何值时,该方程有实数根?
答：当$m\geqslant$$-\frac{1}{2}$时，该方程有实数根.
(2)当$m= 1$时,求出这个方程的两个根.
答：这个方程的两个根为$x_{1}=$$2+\sqrt{3}$，$x_{2}=$$2-\sqrt{3}$.

答案：
(1)由题意，得$\Delta = [-2(m + 1)]^{2}-4\times1\times m^{2}\geqslant0$，
解得$m\geqslant-\frac{1}{2}$，
∴当$m\geqslant-\frac{1}{2}$时，该方程有实数根.
(2)将$m = 1$代入原方程，得$x^{2}-2\times(1 + 1)x + 1^{2}=0$，即$(x - 2)^{2}=3$，$\therefore x = 2\pm\sqrt{3}$，$\therefore x_{1}=2+\sqrt{3}$，$x_{2}=2-\sqrt{3}$.
易错警示 一元二次方程有实数根是指方程“有两个不相等的实数根”和“有两个相等的实数根”两种情况，对应的根的判别式大于等于0.

7. (2024·黑龙江中考)关于x的一元二次方程$(m-2)x^{2}+4x+2= 0$有两个实数根,则m的取值范围是(D).
A. $m≤4$
B. $m≥4$
C. $m≥-4且m≠2$
D. $m≤4且m≠2$

答案： D

8. (2024·宿迁中考)规定:对于任意实数a,b,c,有$[a,b]★c= ac+b$,其中等式右面是通常的乘法和加法运算,如$[2,3]★1= 2×1+3= 5$.若关于x的方程$[x,x+1]★(mx)= 0$有两个不相等的实数根,则m的取值范围为(D).
A. $m＜\frac {1}{4}$
B. $m＞\frac {1}{4}$
C. $m＞\frac {1}{4}且m≠0$
D. $m＜\frac {1}{4}且m≠0$

答案： D [解析]根据题意，得$x(mx)+x + 1 = 0$，整理得$mx^{2}+x + 1 = 0$，
∵关于x的方程$x(x + 1)(mx)=0$有两个不相等的实数根，$\therefore \Delta = 1^{2}-4m\cdot1＞0$且$m\neq0$，解得$m＜\frac{1}{4}$且$m\neq0$.故选D.

9. 方程思想已知在$Rt△ABC$中,$∠B= 90^{\circ },AC= 6$,则$AB+\frac {\sqrt {3}}{3}BC$的最大值为____$4\sqrt{3}$.

答案： $4\sqrt{3}$ [解析]令$AB+\frac{\sqrt{3}}{3}BC = m$，$\therefore AB = m-\frac{\sqrt{3}}{3}BC$.
∵在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AC = 6$，
$\therefore AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，$\therefore (m-\frac{\sqrt{3}}{3}BC)^{2}+BC^{2}=6^{2}$，
化简，得$\frac{4}{3}BC^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}mBC + m^{2}-36 = 0$，
因为BC是存在的，所以这个关于BC的一元二次方程有解
$\because \Delta\geqslant0$，$\therefore \frac{4}{3}m^{2}-\frac{16}{3}m^{2}+192\geqslant0$，即$m^{2}\leqslant48$，
解得$-4\sqrt{3}\leqslant m\leqslant4\sqrt{3}$.故$AB+\frac{\sqrt{3}}{3}BC$的最大值为$4\sqrt{3}$.

10. 设一元二次方程$x^{2}+bx+c= 0$.在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.
①$b= 2,c= 1$;②$b= 3,c= 1$;③$b= 3,c= -1$;④$b= 2,c= 2.$
选择：(②)，方程的解为$x_{1}=$$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=$$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$
或选择：(③)，方程的解为$x_{1}=$$\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$，$x_{2}=$$\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$

答案：
∵使这个方程有两个不相等的实数根，
$\therefore b^{2}-4ac＞0$，即$b^{2}＞4c$，
∴②③均可.
选②解方程，则这个方程为$x^{2}+3x + 1 = 0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$，
$\therefore x_{1}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$；
选③解方程，则这个方程为$x^{2}+3x - 1 = 0$，
$\therefore x_{1}=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$.