《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. (2025·广西钦州期中)已知抛物线$y = x^{2}-bx + c与x轴交于点A(1,0)$,$B(-3,0)$,则关于$x的方程x^{2}-bx + c = 0$的解是(C).
A. $x_{1}= -1$,$x_{2}= -3$
B. $x_{1}= -1$,$x_{2}= 3$
C. $x_{1}= 1$,$x_{2}= -3$
D. $x_{1}= 1$,$x_{2}= 3$

答案： C

2. 已知二次函数$y = kx^{2}-5x - 5的图象与x$轴有交点,则$k$的取值范围是(B).
A. $k＞-\frac{5}{4}$
B. $k\geqslant-\frac{5}{4}且k\neq0$
C. $k\geqslant-\frac{5}{4}$
D. $k＞-\frac{5}{4}且k\neq0$

答案： B [解析]
∵二次函数$y=kx^{2}-5x-5$的图象与x轴有交点，$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=25+20k≥0$，且$k≠0$，
解得$k≥-\frac {5}{4}$，且$k≠0$.故选B.
归纳总结 抛物线$y=ax^{2}+bx+c$和x轴的交点个数：当$\Delta =b^{2}-4ac＞0$时，抛物线与x轴有2个交点；当$\Delta =b^{2}-4ac=0$时，抛物线与x轴有1个交点；当$\Delta =b^{2}-4ac＜0$时，抛物线与x轴没有交点.

3. 分类讨论思想已知函数$y = mx^{2}+3mx + m - 1$的图象与坐标轴恰有两个公共点,则实数$m$的值为1或$-\frac {4}{5}$.

答案： 1或$-\frac {4}{5}$ [解析]当$m=0$时，$y=-1$，
切勿忽略对该种情况的讨论
与坐标轴只有一个交点，不符合题意；
当$m≠0$时，
∵函数$y=mx^{2}+3mx+m-1$的图象与坐标轴恰有两个公共点，
∴有以下两种情况：
①过坐标原点，$m-1=0$，解得$m=1$；
②与x，y轴各一个交点，$\Delta =(3m)^{2}-4m(m-1)=0$，解得$m=0$(舍去)或$m=-\frac {4}{5}$.
综上所述，m的值为1或$-\frac {4}{5}$.
易错警示 函数的图象与坐标轴恰有两个公共点个数，需对函数分情况讨论，另外，抛物线与坐标轴恰有两个公共点也要分类讨论，否则易出错.

4. 实验班原创若二次函数$y = ax^{2}-(m - 1)x的图象经过点(1,0)$,则关于$x的一元二次方程ax^{2}-(m - 1)x = 0$的根为$x_{1}=0$，$x_{2}=1$.

答案： $x_{1}=0$，$x_{2}=1$

5. (2025·福建南平期中)已知二次函数$y = x^{2}-2mx + m^{2}+3$($m$是常数).
(1)求证：不论$m$为何值,该函数的图象与$x$轴没有公共点.
(2)把该函数的图象沿$y$轴向下平移多少个单位长度后,顶点在$x$轴上?

答案：
(1)$\because \Delta =b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4×1×(m^{2}+3)=4m^{2}-4m^{2}-12=-12＜0$，
∴一元二次方程$x^{2}-2mx+m^{2}+3=0$没有实数解，
即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.
(2)将二次函数$y=x^{2}-2mx+m^{2}+3$化成顶点式，得$y=x^{2}-2mx+m^{2}+3=(x-m)^{2}+3$.
∵函数向下平移后，顶点在x轴上，
∴平移后得到二次函数$y=(x-m)^{2}$的图象，它的顶点坐标是$(m,0)$，
∴把该函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，顶点在x轴上.

6. (2023·衡阳中考)已知$m＞n＞0$,若关于$x的方程x^{2}+2x - 3 - m = 0的解为x_{1}$,$x_{2}(x_{1}＜x_{2})$,关于$x的方程x^{2}+2x - 3 - n = 0的解为x_{3}$,$x_{4}(x_{3}＜x_{4})$.则下列结论正确的是( ).
A. $x_{3}＜x_{1}＜x_{2}＜x_{4}$
B. $x_{1}＜x_{3}＜x_{4}＜x_{2}$
C. $x_{1}＜x_{2}＜x_{3}＜x_{4}$
D. $x_{3}＜x_{4}＜x_{1}＜x_{2}$

答案：
B [解析]关于x的方程$x^{2}+2x-3-m=0$的解为抛物线$y=x^{2}+2x-3$与直线$y=m$的交点的横坐标，关于x的方程$x^{2}+2x-3-n=0$的解为抛物线$y=x^{2}+2x-3$与直线$y=n$的交点的横坐标，如图：

由图可知，$x_{1}＜x_{3}＜x_{4}＜x_{2}$.故选B.

7. (2025·浙江台州路桥区期中)二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象如图所示,则下列正确的是(B).

A. $a＜0$
B. $b＜0$
C. $c＜0$
D. $b^{2}-4ac＜0$

答案： B [解析]由题意，得抛物线开口向上，且与y轴交于正半轴，$\therefore a＞0$，$c＞0$，故A，C错误.又对称轴是直线$x=-\frac {b}{2a}＞0$，$\therefore b＜0$，故B正确.
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，$\therefore \Delta =b^{2}-4ac＞0$，故D错误.故选B.

8. (2024·徐州中考)在平面直角坐标系中,将二次函数$y= (x - 2023)(x - 2024)+5$的图象向下平移5个单位长度,所得抛物线与$x轴有两个公共点P$,$Q$,则$PQ= $1.

答案： 1 [解析]将二次函数$y=(x-2023)(x-2024)+5$的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为$y=(x-2023)(x-2024)$.令$y=0$，则$x-2023=0$或$x-2024=0$，
解得$x=2023$或2024，$\therefore PQ=2024-2023=1$.

9. 把二次函数$y = x^{2}+4x + m$的图象向上平移1个单位长度,再向右平移3个单位长度,如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点,那么$m$应满足条件：$m＞3$.

答案： $m＞3$ [解析]
∵把二次函数$y=x^{2}+4x+m=(x+2)^{2}+m-4$的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，
∴平移后所得抛物线的解析式为$y=(x+2-3)^{2}+m-4+1=x^{2}-2x+m-2$.
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，$\therefore \Delta =4-4(m-2)＜0$，
$\therefore m＞3$.

10. 中考新考法新定义问题规定：如果两个函数的图象关于$y$轴对称,那么称这两个函数互为“$Y$函数”.例如：函数$y = x + 3与y = -x + 3$互为“$Y$函数”.若函数$y= \frac{k}{4}x^{2}+(k - 1)x + k - 3的图象与x$轴只有一个交点,则它的“$Y$函数”图象与$x$轴的交点坐标为$(3,0)$或$(4,0)$.

答案： $(3,0)$或$(4,0)$ [解析]当$k=0$时，函数解析式为$y=-x-3$，它的“Y函数”解析式为$y=x-3$，它们的图象与x轴都只有一个交点，
∴它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为$(3,0)$；
当$k≠0$时，此函数为二次函数，若二次函数$y=\frac {k}{4}x^{2}+(k-1)x+k-3$的图象与x轴只有一个交点，则二次函数的顶点在x轴上，即$\frac {4×\frac {k}{4}(k-3)-(k-1)^{2}}{4×\frac {k}{4}}=0$，解得$k=-1$，
∴二次函数的解析式为$y=-\frac {1}{4}x^{2}-2x-4=-\frac {1}{4}(x+4)^{2}$，
∴它的“Y函数”解析式为$y=-\frac {1}{4}(x-4)^{2}$，令$y=0$，则$-\frac {1}{4}(x-4)^{2}=0$，解得$x=4$，
∴二次函数的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为$(4,0)$.
综上，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为$(3,0)$或$(4,0)$.