《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

11. (2025·湖北潜江期中)如图,AB,AC是$\odot O$的两条弦,且$\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{AC}$.
(1)求证:AO平分$∠BAC$;
(2)若$AB= 4\sqrt {5},BC= 8$,求半径OA的长.

答案：

(1)如图
(1)，连接 $OB$，$OC$，$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$\therefore AB=AC$．
在 $\triangle AOB$ 与 $\triangle AOC$ 中，$\begin{cases}AB=AC,\\OB=OC,\\OA=OA,\end{cases}$
$\therefore \triangle AOB\cong \triangle AOC(SSS)$，$\therefore \angle 1=\angle 2$，
$\therefore AO$ 平分 $\angle BAC$．

(2)如图
(2)，延长 $AO$ 交 $BC$ 于点 $E$，连接 $OB$．
$\because AB=AC$，$AO$ 平分 $\angle BAC$，$\therefore AE\perp BC$，
$\therefore BE=\frac{1}{2}BC=4$．
设 $OA=x$，可得 $AB^{2}-BE^{2}=AE^{2}$，$OB^{2}=OE^{2}+BE^{2}$，得 $(4\sqrt{5})^{2}-4^{2}=(x+OE)^{2}$，$x^{2}=OE^{2}+4^{2}$，
解得 $x=5$，$OE=3$，$\therefore$ 半径 $OA$ 的长为 $5$．

12. 我们学习了“弧、弦、圆心角的关系”,实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们对应的其余各组量也相等(弦心距指从圆心到弦的距离,如图(1)中的$OC,OC'$,弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度). 请解答下列问题.
如图(2),点O是$∠EPF$的平分线上一点,以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A,B,C,D.
(1)求证:$AB= CD$.
(2)若角的顶点P在圆上或圆内,上述结论还成立吗? 若不成立,请说明理由;若成立,请加以证明.

答案：

(1)如图
(1)，过 $O$ 作 $OM\perp AB$ 于 $M$，$ON\perp CD$ 于 $N$，连接 $OB$，$OD$．
则 $\angle OMB=\angle OND=90^{\circ}$．
$\because PO$ 平分 $\angle EPF$，
$\therefore OM=ON$．
角平分线的性质
在 $Rt\triangle OMB$ 和 $Rt\triangle OND$ 中，
$\begin{cases}OB=OD,\\OM=ON,\end{cases}$
$\therefore Rt\triangle OMB\cong Rt\triangle OND(HL)$，$\therefore BM=DN$．

$\because OM\perp AB$，$ON\perp CD$，$OM$，$ON$ 过圆心 $O$，
$\therefore AB=2BM$，$CD=2DN$，$\therefore AB=CD$．
垂径定理
(2)成立．证明如下：
如图
(2)，当 $P$ 在 $\odot O$ 上时，过点 $O$ 作 $OM\perp AB$ 于点 $M$，$ON\perp CD$ 于点 $N$，则 $\angle OMP=\angle ONP=90^{\circ}$．
$\because PO$ 平分 $\angle EPF$，
$\therefore OM=ON$，$\therefore AB=CD$；
巧用题目材料

当 $P$ 在 $\odot O$ 内时，如图
(3)，过点 $O$ 作 $OM\perp AB$ 于点 $M$，$ON\perp CD$ 于点 $N$，同理可证 $OM=ON$，$\therefore AB=CD$．