《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. 已知A,B是抛物线上的点,它们的坐标分别为$(1,3),(5,3)$,则该抛物线的对称轴为直线____$x=3$.

答案： $ x = 3 $ [解析] $ \because $ 两点 $ (1, 3) $，$ (5, 3) $ 的纵坐标相同，都是 3，$ \therefore $ 抛物线的对称轴为直线 $ x = \frac{1 + 5}{2} = 3 $。

2. 已知抛物线的对称轴为直线$x= -3$,与x轴的两个交点间的距离为8,则这两个交点坐标分别为$ (-7, 0) $，$ (1, 0) $.

答案： $ (-7, 0) $，$ (1, 0) $ [解析] $ \because $ 对称轴为直线 $ x = -3 $，$ \therefore $ 对称轴与 $ x $ 轴的交点为 $ (-3, 0) $。又两个交点间的距离为 8，$ \therefore $ 左边的交点的横坐标为 $ -3 - 4 = -7 $，右边的交点的横坐标为 $ -3 + 4 = 1 $。故两个交点的坐标为 $ (-7, 0) $，$ (1, 0) $。

3. 已知二次函数$y= ax^{2}+bx+2$,当$x= 1与x= 2024$时,函数值相等.则当$x= 2025$时,函数值等于____2.

答案： 2 [解析] $ \because $ 当 $ x = 1 $ 与 $ x = 2024 $ 时，函数值相等，$ \therefore $ 对称轴为直线 $ x = \frac{1 + 2024}{2} = 1012.5 $，$ \therefore x = 2025 $ 与 $ x = 0 $ 的函数值相等。$ \because $ 当 $ x = 0 $ 时，$ y = 2 $，$ \therefore $ 当 $ x = 2025 $ 时，$ y = 2 $。

4. 已知当$x= 2m+n+2$和$x= m+2n$时,函数$y= x^{2}+4x+6$的值相等,且$m-n+2≠0$,求当$x= 3(m+n+1)$时的函数值.3

答案： $ \because $ 当 $ x = 2m + n + 2 $ 和 $ x = m + 2n $ 时，函数 $ y = x^2 + 4x + 6 $ 的值相等，$ \therefore $ 二次函数 $ y = x^2 + 4x + 6 $ 的对称轴为直线 $ x = \frac{2m + n + 2 + m + 2n}{2} = \frac{3m + 3n + 2}{2} $。又二次函数 $ y = x^2 + 4x + 6 = (x + 2)^2 + 2 $ 的对称轴为直线 $ x = -2 $，$ \therefore \frac{3m + 3n + 2}{2} = -2 $，$ \therefore 3m + 3n + 2 = -4 $，$ \therefore m + n = -2 $，$ \therefore $ 当 $ x = 3(m + n + 1) = 3×(-2 + 1) = -3 $ 时，$ y = (-3)^2 + 4×(-3) + 6 = 3 $。

5. 设$A(-2,y_{1}),B(1,y_{2}),C(2,y_{3})是抛物线y= 3(x+1)^{2}+4m$(m为常数)上的三点,则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系为(A).
A. $y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
B. $y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
C. $y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$
D. $y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$

答案： A [解析] $ \because $ 抛物线 $ y = 3(x + 1)^2 + 4m $（$ m $ 为常数）的开口向上，对称轴为直线 $ x = -1 $，而 $ C(2, y_3) $ 离直线 $ x = -1 $ 的距离最远，$ A(-2, y_1) $ 离直线 $ x = -1 $ 的距离最近，$ \therefore y_1 ＜ y_2 ＜ y_3 $。故选 A。

6. 设$A(-3,y_{1}),B(0,y_{2}),C(4,y_{3})是抛物线y= -(x+2)^{2}+a$上的三点,则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系为$ y_3 ＜ y_2 ＜ y_1 $.(用“＜”连接)

答案： $ y_3 ＜ y_2 ＜ y_1 $ [解析] $ \because $ 抛物线 $ y = -(x + 2)^2 + a $ 开口向下，对称轴为直线 $ x = -2 $，而 $ C(4, y_3) $ 离直线 $ x = -2 $ 的距离最远，故 $ y_3 $ 最小，$ A(-3, y_1) $ 离直线 $ x = -2 $ 的距离最近，故 $ y_1 $ 最大。故答案为 $ y_3 ＜ y_2 ＜ y_1 $。

7. 已知抛物线$y= ax^{2}+bx+c$的对称轴是直线$x= 2$,且经过点$(1,4)$和点$(5,0)$,求这个抛物线的解析式.
$y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + \frac{5}{2}$

答案： 由题意可设抛物线的解析式为 $ y = a(x - 2)^2 + k $。把 $ (1, 4) $，$ (5, 0) $ 代入，得 $ \begin{cases} a + k = 4, \\ 9a + k = 0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = -\frac{1}{2}, \\ k = \frac{9}{2}. \end{cases} $ $ \therefore $ 这个抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{2}(x - 2)^2 + \frac{9}{2} $，即 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + \frac{5}{2} $。

8. 已知一条抛物线的形状与开口方向和$y= 2x^{2}$相同且对称轴为直线$x= -1$,并与y轴交于一点$(0,-1)$,求该抛物线的解析式.
该抛物线解析式为$y = 2(x + 1)^2 - 3$（或$y = 2x^2 + 4x - 1$）。

答案： 根据题意设函数解析式为 $ y = 2(x + 1)^2 + k $，把 $ (0, -1) $ 代入，得 $ 2 + k = -1 $，解得 $ k = -3 $，$ \therefore $ 该抛物线解析式为 $ y = 2(x + 1)^2 - 3 = 2x^2 + 4x - 1 $。

9. 如图,正方形的边长为4,以正方形中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数$y= \frac {1}{4}x^{2}与y= -\frac {1}{4}x^{2}$的图象,则阴影部分的面积是8.

答案： 8 [解析] $ \because $ 函数 $ y = \frac{1}{4}x^2 $ 与 $ y = -\frac{1}{4}x^2 $ 的图象关于 $ x $ 轴对称，$ \therefore $ 题图阴影部分的面积是题图正方形面积的一半，而边长为 4 的正方形面积为 16，所以题图中阴影部分的面积是 8。

10. 如图,矩形ABCD的长$AB= 6cm$,宽$AD= 3cm$,O是AB的中点,$OP⊥AB$,两半圆的直径分别为AO与OB.抛物线$y= ax^{2}$经过C,D两点,则图中阴影部分的面积是$\frac{9}{8}\pi$$cm^{2}$.

答案： $ \frac{9}{8}\pi $