《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. 如图,把$\triangle ABC以点A为中心逆时针旋转得到\triangle ADE$,点$B$,$C的对应点分别是点D$,$E$,且点$E在BC$的延长线上,连接$BD$,则下列结论一定正确的是(A).

A. $∠CAE= ∠BED$
B. $AB= AE$
C. $∠ACE= ∠ADE$
D. $CE= BD$

答案： A

2. (2024·无锡中考)如图,在$\triangle ABC$中$,∠B= 80^{\circ},∠C= 65^{\circ},$将$\triangle ABC$绕点A逆时针旋转得到$\triangle AB'C'.$当AB'落在AC上时,∠BAC'的度数为(B).

A. $65^{\circ}$
B. $70^{\circ}$
C. $80^{\circ}$
D. $85^{\circ}$

答案： B

3. 教材P60例·变式(2025·福建福州晋安区期中)如图,D是等边三角形ABC内一点,将线段AD绕点A顺时针旋转60°,得到线段AE,连接CD,BE.
(1)求证:△AEB≌△ADC;
(2)连接DE,若∠ADC= 96°,求∠BED的度数.

(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°。
由旋转得AE=AD，∠EAD=60°，
∴∠BAE=∠CAD=60°−∠BAD。
在△AEB和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠BAE=∠CAD,\\ AE=AD,\end{array}\right.$
∴△AEB≌△ADC(SAS)。
(2)连接DE，若∠ADC= 96°，求∠BED的度数.
∵AE=AD，∠EAD=60°，
∴△AED是等边三角形，∴∠AED=60°。
∵△AEB≌△ADC，∴∠AEB=∠ADC=96°，
∴∠BED=∠AEB−∠AED=96°−60°=36°，
∴∠BED的度数是36°。
归纳总结　由于旋转前、后两个图形的形状、大小未发生改变，所以我们在利用旋转来解决与其相关的问题时要注意以下三点:(1)明确旋转中的“变”与“不变”；(2)明确旋转前后的“对应关系”；(3)明确旋转过程中线段或角之间的关系。

答案：
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°。
由旋转得AE=AD，∠EAD=60°，
∴∠BAE=∠CAD=60°−∠BAD。
在△AEB和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠BAE=∠CAD,\\ AE=AD,\end{array}\right.$
∴△AEB≌△ADC(SAS)。
(2)
∵AE=AD，∠EAD=60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠AED=60°。
∵△AEB≌△ADC，
∴∠AEB=∠ADC=96°，
∴∠BED=∠AEB−∠AED=96°−60°=36°，
∴∠BED的度数是36°。
归纳总结　由于旋转前、后两个图形的形状、大小未发生改变，所以我们在利用旋转来解决与其相关的问题时要注意以下三点:
(1)明确旋转中的“变”与“不变”；
(2)明确旋转前后的“对应关系”；
(3)明确旋转过程中线段或角之间的关系。

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ}$,$AB= AC$,$BC= 2$.点$D在BC$上,且$BD:CD= 1:3$.连接$AD$,线段$AD绕点A顺时针旋转90^{\circ}得到线段AE$,连接$BE$,$DE$,则$\triangle BDE$的面积是($\frac{3}{8}$).

A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{3}{8}$
C. $\frac{3}{4}$
D. $\frac{3}{2}$

答案： B [解析]
∵线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，
∴AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠EAB+∠BAD=90°。在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠C=∠ABC=45°，
∴∠EAB=∠CAD，
∴△EAB≌△DAC(SAS)，
∴∠C=∠ABE=45°，CD=BE，
∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°。
∵BC=2，BD:CD=1:3，
∴BD=$\frac{1}{2}$，CD=BE=$\frac{3}{2}$，
∴$S_{△BDE}=\frac{1}{2}BD\cdot BE=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=\frac{3}{8}$。故选B。

5. 如图,在$\triangle AOB$中,$∠AOB= 90^{\circ}$,$AO= 4$,$BO= 8$,$\triangle AOB绕点O逆时针旋转到\triangle A'OB'$处,此时线段$A'B'与BO的交点E为BO$的中点,则线段$B'E$的长度为( ).

A. $3\sqrt{5}$
B. $\frac{12\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{9\sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{16\sqrt{5}}{5}$

答案：
B [解析]
∵∠AOB=90°，AO=4，BO=8，
∴AB=$\sqrt{AO^{2}+BO^{2}}=\sqrt{4^{2}+8^{2}}=4\sqrt{5}$。
∵△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′处，
∴AO=A′O=4，A′B′=AB=4$\sqrt{5}$。
∵点E为BO的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}BO=\frac{1}{2}×8=4$，
∴OE=A′O=4。
如图，过点O作OF⊥A′B′于点F。

$S_{△A'OB'}=\frac{1}{2}×4\sqrt{5}\cdot OF=\frac{1}{2}×4×8$，解得OF=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$。
在Rt△EOF中，EF=$\sqrt{OE^{2}-OF^{2}}=\sqrt{4^{2}-(\frac{8\sqrt{5}}{5})^{2}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
∵OE=A′O，OF⊥A′B′，
∴A′E=2EF=2×$\frac{4\sqrt{5}}{5}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴B′E=A′B′−A′E=4$\sqrt{5}-\frac{8\sqrt{5}}{5}=\frac{12\sqrt{5}}{5}$。故选B。

6. (重庆沙坪坝区自主招生)如图,$\triangle ABC$,$\triangle CDE$都是等边三角形,将$\triangle CDE绕点C$旋转,使得点$A$,$D$,$E$在同一直线上,连接$BE$.若$BE= 2$,$AE= 7$,则$CD$的长是____.

答案：
5或9 [解析]如图
(1)，
∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=DC，∠ACB=∠DCE=60°。
∵∠ACD+∠DCB=∠ACB=60°，∠DCB+∠BCE=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE。
在△CBE和△CAD中，$\left\{\begin{array}{l} BC=AC,\\ ∠BCE=∠ACD,\\ CE=CD,\end{array}\right.$
∴△CBE≌△CAD(SAS)，
∴BE=AD。
∵BE=2，AE=7，
∴BE=AD=2，
∴DE=AE−AD=7−2=5，
∴CD=5；
如图
(2)，同理证得△CBE≌△CAD，
∴BE=AD。
∵BE=2，AE=7，
∴BE=AD=2，
∴DE=AE+AD=7+2=9。
综上所述，CD的长为5或9。

7. (2025·西安交大附中模拟)如图,线段$AB= 5$,点$C为线段AB$延长线上一点,将线段$BC绕点C旋转120^{\circ}得到线段CD$,连接$AD$,$E为AD$的中点,连接$BE$,则线段$BE$的最小值为____.

答案：
$\frac{5}{4}$ [解析]如图，连接BD，取AB的中点F，作射线FE，过点B作BI⊥FE于点I，则∠FIB=90°。

∵将线段BC绕点C旋转120°得到线段CD，
∴BC=CD，∠BCD=120°，
∴∠CBD=∠CDB=$\frac{1}{2}×(180°−120°)=30°$。
∵AB=5，
∴BF=AF=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$。
∵E为AD的中点，F为AB的中点，
∴EF//DB，
∴∠BFE=∠CBD=30°，
∴点E在经过AB的中点F且与直线AB的夹角等于30°的直线上运动。
∵BE≥BI，且BI=$\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}=\frac{5}{4}$，
∴BE≥$\frac{5}{4}$，
∴线段BE的最小值为$\frac{5}{4}$。