《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. 如图,$AB是\odot O$的直径,弦$CD\perp AB于点H$,交$\odot O于点D$,$CE平分\angle DCO交\odot O于点E$,求证:$E为\overset{\frown}{ADB}$的中点.

证明：连接 $ OE $。$\because OC = OE$，$\therefore \angle OCE = \angle E$。$\because CE$ 平分 $\angle DCO$，$\therefore \angle OCE = \angle DCE$，$\therefore \angle DCE = \angle E$，$\therefore OE // CD$。$\because$ 弦 $ CD \perp AB$，$\therefore OE \perp AB$，$\therefore E$ 为 $\overset{\frown}{ADB}$ 的中点。

答案： 连接 $ OE $。$\because OC = OE$，$\therefore \angle OCE = \angle E$。
$\because CE$ 平分 $\angle DCO$，$\therefore \angle OCE = \angle DCE$，
$\therefore \angle DCE = \angle E$，$\therefore OE // CD$。
$\because$ 弦 $ CD \perp AB$，$\therefore OE \perp AB$，$\therefore E$ 为 $\overset{\frown}{ADB}$ 的中点。

2. (2025·天津红桥区期末)如图,$AB为\odot O$的直径,$PD切\odot O于点C$,交$AB的延长线于点D$.
(1)如图(1),若$\angle D= 50^{\circ}$,求$\angle PCA$的大小;
(2)如图(2),若$CA= CD$,求$\angle PCA$的大小.

答案：

(1) 如图
(1)，连接 $ OC $。
$\because PD$ 切 $\odot O$ 于点 $ C $，$\therefore OC \perp PD$，
$\therefore \angle OCD = 90^{\circ}$。
$\because \angle D = 50^{\circ}$，
$\therefore \angle COD = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}$，

$\therefore \angle A = \frac{1}{2} \angle COD = 20^{\circ}$，
$\therefore \angle PCA = \angle A + \angle D = 20^{\circ} + 50^{\circ} = 70^{\circ}$。
(2) 如图
(2)，连接 $ OC $，设 $\angle A = x$。
$\because CA = CD$，
$\therefore \angle D = \angle A = x$，
$\therefore \angle COD = 2 \angle A = 2x$。
$\because \angle OCD = 90^{\circ}$，

$\therefore \angle COD + \angle D = 90^{\circ}$，
即 $ 2x + x = 90^{\circ} $，解得 $ x = 30^{\circ} $，
$\therefore \angle PCA = \angle A + \angle D = 2x = 60^{\circ}$。

3. 如图,在以$O$为圆心的两个同心圆中,大圆的弦$AB交小圆于C$,$D$两点,若$AB= 10\mathrm{cm}$,$CD= 6\mathrm{cm}$,大圆半径为$7\mathrm{cm}$,则小圆的半径为____.

答案：
$\sqrt{33} \text{ cm}$ [解析] 如图，作 $ OE \perp AB $，垂足为 $ E $，连接 $ OA $，$ OC $。
由垂径定理知，点 $ E $ 是 $ CD $ 的中点，
也是 $ AB $ 的中点，
$\therefore AE = BE$，$ CE = DE $。

在 $ \text{Rt} \triangle AOE $ 中，$ AE = \frac{1}{2} AB = 5 \text{ cm} $，$ OA = 7 \text{ cm} $，
$\therefore OE = \sqrt{OA^{2} - AE^{2}} = \sqrt{7^{2} - 5^{2}} = 2\sqrt{6} (\text{cm})$，
在 $ \text{Rt} \triangle OCE $ 中，$ CE = \frac{1}{2} CD = 3 \text{ cm} $，
$\therefore OC = \sqrt{OE^{2} + CE^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{6})^{2} + 3^{2}} = \sqrt{33} (\text{cm})$，
即小圆的半径为 $ \sqrt{33} \text{ cm} $。

4. (2025·浙江绍兴嵊州期中)如图,$AB$,$CD为\odot O$的两条弦,且$AB= CD$,$M$,$N分别为AB$,$CD$的中点,求证:$\angle AMN= \angle CNM$.

答案：
如图，连接 $ OM $，$ ON $。
$\because M$，$ N $ 分别为 $ AB $，$ CD $ 的中点，
$\therefore \angle AMO = \angle CNO = 90^{\circ}$。

又 $ AB = CD $，$\therefore OM = ON$，
$\therefore \angle OMN = \angle ONM$，
$\therefore \angle AMO - \angle OMN = \angle CNO - \angle ONM$，
$\therefore \angle AMN = \angle CNM$。

5. 如图,圆内接四边形$ABCD的外角\angle DCH= \angle DCA$,$DP\perp AC$,垂足为$P$,$DH\perp BH$,垂足为$H$.求证:
(1)$CH= CP$;
(2)$AP= BH$.

答案：

(1) $\because DH \perp BH$，$ DP \perp AC $，$\therefore \angle H = \angle DPC = 90^{\circ}$。
在 $ \triangle DHC $ 与 $ \triangle DPC $ 中，$\begin{cases} \angle H = \angle DPC, \\ \angle DCH = \angle DCP, \\ CD = CD, \end{cases}$
$\therefore \triangle DHC \cong \triangle DPC (\text{AAS})$，$\therefore CH = CP$。
(2) 如图，连接 $ DB $，由圆周角定理，得
$\angle DAC = \angle DBH$。
$\because \triangle DHC \cong \triangle DPC$，
$\therefore DH = DP$。

$\because DP \perp AC$，$ DH \perp BH $，
$\therefore \angle DPA = \angle DHB = 90^{\circ}$，
$\therefore \triangle DAP \cong \triangle DBH (\text{AAS})$，
$\therefore AP = BH$。