《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

3.(2025·河南南阳南召期中)阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法.下面是某同学对多项式$(x^{2}+2x)(x^{2}+2x + 2)+1$进行因式分解的过程：
解：设$x^{2}+2x = y$,
原式$= y(y + 2)+1$(第一步)
$= y^{2}+2y + 1$(第二步)
$=(y + 1)^{2}$(第三步)
$=(x^{2}+2x + 1)^{2}$.(第四步)
问题：
(1)该同学没有完成因式分解,请你直接写出最后的结果____$(x+1)^{4}$；
(2)请你结合以上的思想方法对多项式$(x^{2}-4x)(x^{2}-4x + 8)+16$进行因式分解；
解：令$y=x^{2}-4x$，则原式$=y(y+8)+16=y^{2}+8y+16=(y+4)^{2}=(x^{2}-4x+4)^{2}=(x-2)^{4}$
(3)若$(x^{2}+y^{2}+1)(x^{2}+y^{2}-1)= 63$,求$x^{2}+y^{2}$的值.
解：令$x^{2}+y^{2}=m$，则由$(x^{2}+y^{2}+1)(x^{2}+y^{2}-1)=63$，得$(m+1)(m-1)=63$，解得$m=\pm 8$。因为$m=x^{2}+y^{2}\geqslant 0$，所以$m=8$，则$x^{2}+y^{2}=$8

答案：
(1) $ (x+1)^{4} $ [解析] 由题知 $ \left(x^{2}+2 x+1\right)^{2}=(x+1)^{4} $。
(2) 令 $ y=x^{2}-4 x $，则原式 $ =y(y+8)+16=y^{2}+8 y+16=(y+4)^{2}=\left(x^{2}-4 x+4\right)^{2}=(x-2)^{4} $。
(3) 令 $ x^{2}+y^{2}=m $，则由 $ \left(x^{2}+y^{2}+1\right)\left(x^{2}+y^{2}-1\right)=63 $，得 $ (m+1)(m-1)=63 $，解得 $ m=\pm 8 $。因为 $ m=x^{2}+y^{2} \geqslant 0 $，所以 $ m=8 $，则 $ x^{2}+y^{2}=8 $。

4.(2025·山东济宁梁山期中)阅读下列材料：
解方程：$x^{4}-6x^{2}+5 = 0$.这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是：
设$x^{2}= y$,那么$x^{4}= y^{2}$,于是原方程可变为$y^{2}-6y + 5 = 0$①,
解这个方程得$y_{1}= 1$,$y_{2}= 5$.
当$y = 1$时,$x^{2}= 1$,$\therefore x= \pm1$；
当$y = 5$时,$x^{2}= 5$,$\therefore x= \pm\sqrt{5}$.
所以原方程有四个根：$x_{1}= 1$,$x_{2}= -1$,$x_{3}= \sqrt{5}$,$x_{4}= -\sqrt{5}$.
在这个过程中,我们利用换元法达到降次的目的,体现了转化的数学思想.
(1)解方程$(x^{2}-x)^{2}-(x^{2}-x)-6 = 0$时,若设$y = x^{2}-x$,则原方程可转化为____$ y^{2}-y-6=0 $；
(2)若$(a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2}-1)= 12$,则$a^{2}+b^{2}= $____4；
(3)参照上面解题的思想方法解方程：$(\frac{x}{x^{2}-1})^{2}-\frac{4x}{x^{2}-1}= -4$.
解：设$y=\frac{x}{x^{2}-1}$，则原方程变形为$y^{2}-4y=-4$，$\therefore y^{2}-4y+4=0$，$\therefore(y-2)^{2}=0$，解得$y_{1}=y_{2}=2$，$\therefore \frac{x}{x^{2}-1}=2$，去分母，得$2 x^{2}-2=x$，解得$x_{1}=\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{1-\sqrt{17}}{4}$，经检验，$x_{1}=\frac{1+\sqrt{17}}{4}$和$x_{2}=\frac{1-\sqrt{17}}{4}$是上述分式方程的根，$\therefore$原方程的解为$x_{1}=\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{1-\sqrt{17}}{4}$。

答案：
(1) $ y^{2}-y-6=0 $
(2) 4 [解析] 设 $ a^{2}+b^{2}=t $，则原方程可变为 $ t(t-1)=12 $，解得 $ t_{1}=4 $，$ t_{2}=-3 $（舍去），$ \therefore a^{2}+b^{2}=4 $。
(3) $ \left(\frac{x}{x^{2}-1}\right)^{2}-\frac{4 x}{x^{2}-1}=-4 $，设 $ y=\frac{x}{x^{2}-1} $，则 $ \frac{4 x}{x^{2}-1}=4 y $，原方程变形为 $ y^{2}-4 y=-4 $，$ \therefore y^{2}-4 y+4=0 $，$ \therefore(y-2)^{2}=0 $，解得 $ y_{1}=y_{2}=2 $，$ \therefore \frac{x}{x^{2}-1}=2 $，去分母，得 $ 2 x^{2}-2=x $，解得 $ x_{1}=\frac{1+\sqrt{17}}{4} $，$ x_{2}=\frac{1-\sqrt{17}}{4} $，经检验，$ x_{1}=\frac{1+\sqrt{17}}{4} $ 和 $ x_{2}=\frac{1-\sqrt{17}}{4} $ 是上述分式方程的根，$ \therefore $ 原方程的解为 $ x_{1}=\frac{1+\sqrt{17}}{4} $，$ x_{2}=\frac{1-\sqrt{17}}{4} $。