《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

9. 新情境 研究水滑道路径 (2024·赤峰中考)如图(1),是某公园的一种水上娱乐项目. 数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究. 下面是该小组绘制的水滑道截面图,如图(2),人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以地面所在的水平线为x轴,过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴,O为坐标原点,建立平面直角坐标系. 他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分. 根据测量和调查得到的数据和信息,设计了以下三个问题,请你解决.
(1)如图(2),点B与地面的距离为2米,水滑道最低点C与地面的距离为$\frac {7}{8}$米,点C到点B的水平距离为3米,则水滑道ACB所在抛物线的解析式为____.
(2)如图(2),腾空点B与对面水池边缘的水平距离$OE= 12$米,人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米. 若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称.
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式.
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内? 请说明理由(水面与地面之间的高度差忽略不计).
(3)为消除安全隐患,公园计划对水滑道进行加固. 如图(3),水滑道已经有两条加固钢架,一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN,另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM. 现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架,为了美观,要求这条钢架与BM平行,且与水滑道有唯一公共点,一端固定在钢架MN上,另一端固定在地面上.请你计算出这条钢架的长度(结果保留根号).

答案：

(1)$y = \frac{1}{8}(x + 3)^2 + \frac{7}{8}$ [解析]由题意,得水滑道$ACB$所在抛物线的顶点为$C(-3,\frac{7}{8})$,$\therefore$可设抛物线的解析式为$y = a(x + 3)^2 + \frac{7}{8}$.又$B(0,2)$,$\therefore 2 = a(0 + 3)^2 + \frac{7}{8}$,解得$a = \frac{1}{8}$,$\therefore$抛物线的解析式为$y = \frac{1}{8}(x + 3)^2 + \frac{7}{8}$.
(2)①$\because$抛物线$BD$恰好与抛物线$ACB$关于点$B$成中心对称,$\therefore$抛物线$BD$的顶点与抛物线$ACB$的顶点$C$关于点$B$成中心对称,$\therefore B$是它们的中点.
又$C(-3,\frac{7}{8})$,$B(0,2)$,$\therefore$抛物线$BD$的顶点为$(3,\frac{25}{8})$,
$\therefore$此人腾空后的最大高度为$\frac{25}{8}$米.
设抛物线$BD$的解析式为$y = a'(x - 3)^2 + \frac{25}{8}$,
将$B(0,2)$代入,得$a'(0 - 3)^2 + \frac{25}{8} = 2$,$\therefore a' = -\frac{1}{8}$.
$\therefore$抛物线$BD$的解析式为$y = -\frac{1}{8}(x - 3)^2 + \frac{25}{8}$.
②落点$D$在安全范围内.理由如下:
由①,得$y = -\frac{1}{8}(x - 3)^2 + \frac{25}{8}$,令$y = 0$,则$0 = -\frac{1}{8}(x - 3)^2 + \frac{25}{8}$,解得$x = 8$或$x = -2$(负值,舍去),$\therefore OD = 8$米.
又$OE = 12$米,$\therefore DE = 12 - 8 = 4$(米).
$\because 4 ＞ 3$,$\therefore$落点$D$在安全范围内.
(3)由题意,如图,$EF$的长度即为所求钢架长度.
$ACB$所在抛物线的解析式为$y = \frac{1}{8}(x + 3)^2 + \frac{7}{8}$,

令$y = 4$,则$4 = \frac{1}{8}(x + 3)^2 + \frac{7}{8}$,
解得$x = -8$或$x = 2$(不符合题意,舍去),$\therefore M(-8,4)$.
又$B(0,2)$,$\therefore$直线$BM$的解析式为$y = -\frac{1}{4}x + 2$.
$\because EF // BM$,$\therefore$可设$EF$的解析式为$y = -\frac{1}{4}x + m$.
联立方程组$\begin{cases}y = -\frac{1}{4}x + m\\y = \frac{1}{8}(x + 3)^2 + \frac{7}{8}\end{cases}$
$\therefore \frac{1}{8}(x + 3)^2 + \frac{7}{8} = -\frac{1}{4}x + m$,$\therefore x^2 + 8x - 8m + 16 = 0$.
由题意,知$\Delta = 64 - 4(-8m + 16) = 0$,$\therefore m = 0$,
$\therefore$直线$EF$的解析式为$y = -\frac{1}{4}x$,过原点,即点$F$与点$O$重合.
$\because M(-8,4)$,$\therefore$令$x = -8$,则$y = -\frac{1}{4}x = -\frac{1}{4}×(-8) = 2$,
$\therefore NE = 2$米,$ON = 8$米.
又$\angle ENO = 90^{\circ}$,$\therefore EF = EO = \sqrt{2^2 + 8^2} = 2\sqrt{17}$(米).
故这条钢架的长度为$2\sqrt{17}$米.