《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

【例】[全国初中数学竞赛(湖北襄阳)预选赛]如图,对称轴为直线$x= \frac {7}{2}$的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4).

(1)求抛物线的解析式及顶点坐标.解析式为$y= \frac {2}{3}(x-\frac {7}{2})^{2}-\frac {25}{6}$，顶点坐标为$(\frac {7}{2},-\frac {25}{6})$.
(2)设点$E(x,y)$是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形,求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.函数解析式为$S= -4(x-\frac {7}{2})^{2}+25$，自变量x的取值范围是$1\lt x＜6$.
(3)①当平行四边形OEAF的面积为24时,请判断平行四边形OEAF是否为菱形.当点E为(3,-4)时是菱形，当点E为(4,-4)时不是菱形
②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形？若存在,求出点E的坐标；若不存在,请说明理由.不存在，理由：当平行四边形OEAF是正方形时，点E坐标为(3,-3)，该点不在抛物线上

答案： 解析：
(1)用顶点式来求二次函数的解析式；
(2)根据三角形的面积公式得出$\triangle AOE$的面积关于x的函数解析式,进而可得出S与x的函数解析式；
(3)①将$S= 24$代入S与x的函数解析式,求出x的值,即可得出点E的坐标和OE,AE的长.如果平行四边形OEAF是菱形,那么需满足平行四边形相邻两边的长相等,据此可判断出四边形OEAF是否为菱形；
②如果四边形OEAF是正方形,那么$\triangle OEA$应该是等腰直角三角形,即点E的坐标为$(3,-3)$,将其代入抛物线的解析式,即可判断出是否存在符合条件的点E.
答案：
(1)$∵抛物线的对称轴是直线x= \frac {7}{2}$,
$∴可设其解析式为y= a(x-\frac {7}{2})^{2}+k$.
把$A(6,0)$,$B(0,4)$代入,
得$\left\{\begin{array}{l} a(6-\frac {7}{2})^{2}+k= 0,\\ a(0-\frac {7}{2})^{2}+k= 4,\end{array}\right. 解得\left\{\begin{array}{l} a= \frac {2}{3},\\ k= -\frac {25}{6},\end{array}\right. $
$∴抛物线的解析式为y= \frac {2}{3}(x-\frac {7}{2})^{2}-\frac {25}{6}$,顶点坐标为$(\frac {7}{2},-\frac {25}{6})$.
(2)$∵点E(x,y)$在抛物线上,位于第四象限,且坐标满足$y= \frac {2}{3}(x-\frac {7}{2})^{2}-\frac {25}{6}$,
$∴y＜0$,即$-y＞0$,$-y$表示点E到OA的距离.
$∵OA$是平行四边形OEAF的对角线,
$∴S= 2S_{\triangle OAE}= 2×\frac {1}{2}OA\cdot |y|= -6y= -4(x-\frac {7}{2})^{2}+25$.
$∵$抛物线与x轴的两个交点是$(1,0)和(6,0)$,
$∴$自变量x的取值范围是$1\lt x＜6$.
$∴S= -4(x-\frac {7}{2})^{2}+25(1\lt x＜6)$.
(3)①根据题意,当$S= 24$时,
即$-4(x-\frac {7}{2})^{2}+25= 24$,
解得$x_{1}= 3$,$x_{2}= 4$,
$∴E_{1}(3,-4)$,$E_{2}(4,-4)$.
$∵点E_{1}(3,-4)满足OE= AE$,
$∴$平行四边形OEAF是菱形.
$∵点E_{2}(4,-4)不满足OE= AE$,
$∴$平行四边形OEAF不是菱形.
②不存在.理由如下：
当$OA⊥EF$,且$OA= EF$时,平行四边形OEAF是正方形,此时点E的坐标只能是$(3,-3)$,
而坐标为$(3,-3)$的点不在抛物线上.
故不存在这样的点E,使平行四边形OEAF为正方形.