《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. 教材P94思考·变式(2023·衡阳中考)我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于$60^{\circ }$”.假设三角形没有一个内角小于或等于$60^{\circ }$,即三个内角都大于$60^{\circ }$,则三角形的三个内角的和大于$180^{\circ }$.这与“三角形的内角和等于$180^{\circ }$”这个定理矛盾,所以在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于$60^{\circ }$.上述推理使用的证明方法是(A).
A. 反证法
B. 比较法
C. 综合法
D. 分析法

答案： A

2. (2024·浙江湖州吴兴区期中)用反证法证明“在$△ABC$中,若$∠A＞∠B＞∠C$,则$∠A＞60^{\circ }$”时,应先假设(D).
A. $∠A= 60^{\circ }$
B. $∠A＜60^{\circ }$
C. $∠A≠60^{\circ }$
D. $∠A≤60^{\circ }$

答案： D

3. 阅读下列文字,回答问题.
题目:在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,若$∠A≠45^{\circ }$,则$AC≠BC$.
证明:假设$AC= BC$,
因为$∠A≠45^{\circ },∠C= 90^{\circ }$,所以$∠A≠∠B$.
所以$AC≠BC$,这与假设矛盾,所以$AC≠BC$.
上面的证明有没有错误? 若没有错误,指出其证明的方法;若有错误,请予以纠正.
有错误.改正如下:
　假设$AC=BC$，则$∠A=∠B$。又$∠C=90^{\circ}$，
　所以$∠B=∠A=45^{\circ}$，这与$∠A≠45^{\circ}$矛盾，
　所以$AC=BC$不成立，所以$AC≠BC$。

答案： 有错误.改正如下:
　假设$AC=BC$，则$∠A=∠B$。又$∠C=90^{\circ}$，
　所以$∠B=∠A=45^{\circ}$，这与$∠A≠45^{\circ}$矛盾，
　所以$AC=BC$不成立，所以$AC≠BC$。

4. 已知:在$△ABC$中,$AB= AC$,求证:$∠B＜90^{\circ }$,下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤:
①$\therefore ∠A+∠B+∠C＞180^{\circ }$,这与三角形内角和为$180^{\circ }$矛盾;
②因此假设不成立.$\therefore ∠B＜90^{\circ }$;
③假设在$△ABC$中,$∠B≥90^{\circ }$;
④由$AB= AC$,得$∠B= ∠C≥90^{\circ }$,即$∠B+∠C≥180^{\circ }$.
这四个步骤正确的顺序应是(D).
A. ④③①②
B. ③④②①
C. ①②③④
D. ③④①②

答案： D

5. 已知五个正数的和等于1,用反证法证明:这五个正数中至少有一个大于或等于$\frac {1}{5}$,先要假设这五个正数(B).
A. 都大于$\frac {1}{5}$
B. 都小于$\frac {1}{5}$
C. 没有一个小于$\frac {1}{5}$
D. 没有一个大于$\frac {1}{5}$

答案： B

6. 数学课上,同学提出如下问题:如何证明“两直线平行,同位角相等”?
老师说这个证明可以用反证法完成,思路及过程如下:
如图(1),我们想要证明“如果直线AB,CD被直线EF所截,$AB// CD$,那么$∠EOB= ∠EO'D$.”
如图(2),假设$∠EOB≠∠EO'D$,过点O作直线$A'B'$,使$∠EOB'= ∠EO'D$,依据基本事实同位角相等，两直线平行,可得$A'B'// CD$.
这样过点O就有两条直线AB,$A'B'$都平行于直线CD,这与基本事实过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,说明$∠EOB≠∠EO'D$的假设是不对的,于是有$∠EOB= ∠EO'D$.
请补充上述证明过程中的两条基本事实.

答案： 同位角相等，两直线平行　过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行