《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. 如图,点$A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54)在二次函数y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$的图象上,则方程$ax^{2}+bx+c= 0$的一个近似值可能是(D).

A. 2.18
B. 2.68
C. -0.51
D. 2.45

答案： D [解析]
∵图象上有两点分别为$A(2.18,-0.51)$，$B(2.68,0.54)$，
∴当$x=2.18$时，$y=-0.51$；当$x=2.68$时，$y=0.54$，
∴当$y=0$时，$2.18＜x＜2.68$，只有选项D符合.故选D.

2. 教材 P46 例·变式 小颖用计算器探索方程$ax^{2}+bx+c= 0$的根,作出如图所示的图象,并求得一个近似根$x= -3.4$,则方程的另一个近似根(精确到0.1)为$x=1.4$.

答案： $x=1.4$

3. 可以用如下方法求方程$x^{2}-2x-2= 0$的实数根的范围:
利用函数$y= x^{2}-2x-2$的图象可知,当$x= 0$时,$y＜0$,当$x= -1$时,$y＞0$,所以方程有一个根在-1和0之间.
(1)参考上面的方法,求方程$x^{2}-2x-2= 0$的另一个根在哪两个连续整数之间;
利用函数$y=x^{2}-2x-2$的图象可知，当$x=2$时，$y＜0$，当$x=3$时，$y＞0$，所以方程的另一个根在2和3之间.
(2)若方程$x^{2}-2x+c= 0$有一个根在0和1之间,求c的取值范围.
∵函数$y=x^{2}-2x+c$的图象的对称轴为直线$x=1$，方程$x^{2}-2x+c=0$有一个根在0和1之间，∴$\left\{\begin{array}{l} c＞0,\\ 1 - 2 + c＜0,\end{array}\right. $解得$0＜c＜1$.

答案：
(1)利用函数$y=x^{2}-2x-2$的图象可知，当$x=2$时，$y＜0$，当$x=3$时，$y＞0$，所以方程的另一个根在2和3之间.
(2)
∵函数$y=x^{2}-2x+c$的图象的对称轴为直线$x=1$，方程$x^{2}-2x+c=0$有一个根在0和1之间，
∴$\left\{\begin{array}{l} c＞0,\\ 1 - 2 + c＜0,\end{array}\right. $解得$0＜c＜1$.

4. (2024·甘孜州中考)二次函数$y= ax^{2}+bx+c(a＞0)$的图象如图所示,给出下列结论:①$c＜0$;②$-\frac {b}{2a}＞0$;③当$-1＜x＜3$时,$y＜0$.其中所有正确结论的序号是(D).

A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③

答案： D [解析]
∵函数图象与y轴交于负半轴，
∴当$x=0$时，$y=c＜0$，故①正确.
∵函数的图象过点$(-1,0)$，$(3,0)$，
∴$a - b + c = 0$，且$9a + 3b + c = 0$，
∴$8a + 4b = 0$，
∴$b = - 2a$，
∴对称轴是直线$x = -\frac {b}{2a}=-\frac {-2a}{2a}=1＞0$，故②正确.
∵$x = - 1$或$x = 3$时，$y = 0$，且抛物线$y = ax^{2}+bx + c$开口向上，
∴当$-1＜x＜3$时，$y＜0$，故③正确.故选D.

5. (2024·达州模拟)如图所示是抛物线$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$的部分图象,其顶点坐标为$(1,n)$,且与x轴的一个交点在点$(3,0)和(4,0)$之间,则下列结论:①$a-b+c＞0$;②$3a+c＞0$;③$b^{2}= 4a(c-n)$;④一元二次方程$ax^{2}+bx+c= n+1$没有实数根.其中正确的结论个数是(D).

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： D [解析]
∵抛物线顶点坐标为$(1,n)$，
∴抛物线对称轴为直线$x = 1$.
∵图象与x轴的一个交点在$(3,0)$，$(4,0)$之间，
∴图象与x轴另一交点在$(-1,0)$，$(-2,0)$之间，
∴$x = - 1$时，$y＞0$，即$a - b + c＞0$，故①正确，符合题意.
∵抛物线的对称轴为直线$x = -\frac {b}{2a}=1$，
∴$b = - 2a$，
∴$y = ax^{2}-2ax + c$，
∴$x = - 1$时，$y = 3a + c＞0$，故②正确，符合题意.
∵抛物线顶点坐标为$(1,n)$，
∴$ax^{2}+bx + c = n$有两个相等实数根，
∴$\Delta = b^{2}-4a(c - n)=0$，
∴$b^{2}=4a(c - n)$，故③正确，符合题意.
∵$y = ax^{2}+bx + c$的最大函数值为$y = n$，
∴$ax^{2}+bx + c = n + 1$没有实数根，故④正确，符合题意.故选D.

6. 如表是二次函数$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$的自变量x与函数值y的对应关系,则一元二次方程$ax^{2}+bx+c= \frac {3}{10}(a≠0)$的一个解x的取值范围是$6.3＜x＜6.4$.

答案： $6.3＜x＜6.4$ [解析]一元二次方程$ax^{2}+bx + c=\frac {3}{10}$$(a≠0)$的解即为$y = ax^{2}+bx + c = 0.3=\frac {3}{10}$时x的值.由表可知，当$6.3＜x＜6.4$时，函数$y = ax^{2}+bx + c$取得$y = ax^{2}+bx + c = 0.3=\frac {3}{10}$，
∴一元二次方程$ax^{2}+bx + c=\frac {3}{10}(a≠0)$的一个解x的取值范围是$6.3＜x＜6.4$.

7. (湖北黄冈自主招生)已知$y= x^{2}+mx-6$,当$1≤m≤3$时,$y＜0$恒成立,那么实数x的取值范围是$-3＜x＜\frac {-3+\sqrt {33}}{2}$.

答案： $-3＜x＜\frac {-3+\sqrt {33}}{2}$ [解析]
∵$1\leq m\leq3$，$y＜0$，
∴当$m = 3$时，$x^{2}+3x - 6＜0$，解得$\frac {-3-\sqrt {33}}{2}＜x＜\frac {-3+\sqrt {33}}{2}$，当$m = 1$时，$x^{2}+x - 6＜0$，解得$-3＜x＜2$，
∴实数x的取值范围为$-3＜x＜\frac {-3+\sqrt {33}}{2}$.

8. 如图,抛物线$y= ax^{2}+bx+c的顶点为C(1,4)$,且与y轴交于点$D(0,3)$,与x轴交于A,B两点.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)若直线BD的解析式为$y= mx+n$,请直接写出不等式$ax^{2}+bx+c＞mx+n$的解集.
(3)在第一象限的抛物线上是否存在一个点P,使得四边形ABPD的面积等于10?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：

(1)设抛物线的解析式为$y = a(x - 1)^{2}+4$，代入$D(0,3)$，得$3 = a(0 - 1)^{2}+4$，解得$a = - 1$，
∴$y = -(x - 1)^{2}+4$，
∴此抛物线的解析式为$y = -x^{2}+2x + 3$.
(2)令$y = 0$，则$-x^{2}+2x + 3 = 0$，解得$x_{1} = - 1$，$x_{2} = 3$，
∴$A(-1,0)$，$B(3,0)$.
∵$D(0,3)$，
∴不等式$ax^{2}+bx + c＞mx + n$的解集为$0＜x＜3$.
(3)不存在.理由如下：假设存在一个点P，使得四边形ABPD的面积等于10.过P点作$PE⊥AB$于E，交DB于F，连接PD，PB，如图，
∵$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$D(0,3)$，
∴$AB = 4$，$OD = 3$，
∴$S_{\triangle ABD}=\frac {1}{2}AB\cdot OD = 6$.

∵四边形ABPD的面积等于10，
∴$S_{\triangle BPD}=10 - 6 = 4$.把B，D的坐标代入$y = mx + n$，得$\left\{\begin{array}{l} 3m + n = 0,\\ n = 3,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} m = - 1,\\ n = 3,\end{array}\right. $
∴直线BD的解析式为$y = -x + 3$.设$P(x,-x^{2}+2x + 3)$，则$F(x,-x + 3)$，
∴$PF = (-x^{2}+2x + 3)-(-x + 3)=-x^{2}+3x$，
∴$S_{\triangle BPD}=S_{\triangle PDF}+S_{\triangle PFB}=\frac {1}{2}x(-x^{2}+3x)+\frac {1}{2}(-x^{2}+3x)\cdot (3 - x)=4$，整理，得$3x^{2}-9x + 8 = 0$.
∵$\Delta = (-9)^{2}-4×3×8=-15＜0$，
∴不存在这样的点P，使得四边形ABPD的面积等于10.
知识拓展　二次函数$y = ax^{2}+bx + c$(a，b，c是常数，$a≠0$)与不等式的关系：①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围；②利用两个函数图象在平面直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解.