《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

7. 如图,AB,CD是$\odot O$内非直径的两条弦,求证:AB与CD不能互相平分.

设AB,CD交于点P，连接OP。假设AB与CD能互相平分，则$CP=DP$，$AP=BP$。∵AB,CD是$\odot O$内非直径的两弦，∴$OP⊥AB$，$OP⊥CD$，这与“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，∴假设不成立。∴AB与CD不能互相平分。

答案： 设AB,CD交于点P，连接OP。
　假设AB与CD能互相平分，则$CP=DP$，$AP=BP$。
∵AB,CD是$\odot O$内非直径的两弦，
∴$OP⊥AB$，$OP⊥CD$，这与“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，
∴假设不成立。
∴AB与CD不能互相平分。

8. (2025·陕西渭南韩城期中)用反证法证明下列问题:如图,在$△ABC$中,点D,E分别在AC,AB上,连接BD,CE,相交于点O.求证:BD和CE不可能互相平分.

证明:连接DE。假设BD和CE互相平分，∴四边形EBCD是平行四边形，∴$BE// CD$。∵在$△ABC$中，点D,E分别在AC,AB上，∴AB不可能平行于AC，与已知条件矛盾，故假设不成立，原命题正确，即BD和CE不可能互相平分。

答案： 连接DE。假设BD和CE互相平分，
∴四边形EBCD是平行四边形，
∴$BE// CD$。
∵在$△ABC$中，点D,E分别在AC,AB上，
∴AB不可能平行于AC，与已知条件矛盾，
　故假设不成立，原命题正确，
　即BD和CE不可能互相平分。
　归纳总结　反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。

9. (2024·江苏南京外国语学校期中)如图,在$△ABC$中,AB,BC,AC均不相等,点D,E,F分别是AC,AB,BC的中点.
(1)求证:四边形EFCD是平行四边形;
∵点D,E,F分别是AC,AB,BC的中点，∴DE和EF都是$△ABC$的中位线，∴$ED// BC$，$EF// AC$，∴$ED// FC$，$EF// DC$，∴四边形EFCD是平行四边形。
(2)用反证法证明:线段EC与FD不垂直.
假设线段EC与FD垂直。由(1)知，四边形EFCD是平行四边形，则平行四边形EFCD是菱形，∴$EF=DE$。∵DE和EF都是$△ABC$的中位线，∴$DE=\frac{1}{2}BC$，$EF=\frac{1}{2}AC$，∴$BC=AC$，这与BC,AC不相等相矛盾，∴该假设不成立，∴线段EC与FD不垂直。

答案：
(1)
∵点D,E,F分别是AC,AB,BC的中点，
∴DE和EF都是$△ABC$的中位线，
∴$ED// BC$，$EF// AC$，
∴$ED// FC$，$EF// DC$，
∴四边形EFCD是平行四边形。
(2)假设线段EC与FD垂直。
　由
(1)知，四边形EFCD是平行四边形，
　则平行四边形EFCD是菱形，
∴$EF=DE$。
∵DE和EF都是$△ABC$的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}BC$，$EF=\frac{1}{2}AC$，
∴$BC=AC$，这与BC,AC不相等相矛盾，
∴该假设不成立，
∴线段EC与FD不垂直。

10. 转化思想如图,在$△ABC$中,$AB= AC$,P是$△ABC$内的一点,且$∠APB＞∠APC$,用反证法求证:$PB＜PC$.

答案：
假设$PB≥PC$。
　反证法
　如图，把$△ABP$绕点A逆时针旋转，使B与C重合，连接PD，则$△ABP\cong △ACD$，
∴$PB=CD$，$AP=AD$。
∵$PB≥PC$，$PB=CD$，
　　　　　　　　　　　　　　
∴$CD≥PC$，
∴$∠CPD≥∠CDP$。
　又$AP=AD$，
∴$∠APD=∠ADP$，
∴$∠APD+∠CPD≥∠ADP+∠CDP$，即$∠APC≥∠ADC$。
　又$∠APB=∠ADC$，
∴$∠APC≥∠APB$，与$∠APB＞∠APC$矛盾，
∴$PB≥PC$不成立。
∴$PB＜PC$。