《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. 下列抛物线顶点坐标为$(1,0)$的是(D).
A. $y = x^2 + 1$
B. $y = x^2 - 1$
C. $y = (x + 1)^2$
D. $y = (x - 1)^2$

答案： D

2. (教材 P35 思考·变式)将抛物线$y = x^2平移得到抛物线y = (x - 3)^2$,则这个平移过程正确的是(B).
A. 向左平移 3 个单位
B. 向右平移 3 个单位
C. 向上平移 3 个单位
D. 向下平移 3 个单位

答案： B

3. (2024·上海虹口区二模)已知二次函数$y = -(x - 4)^2$,如果函数值$y随自变量x$的增大而减小,那么$x$的取值范围是(A).
A. $x \geq 4$
B. $x \leq 4$
C. $x \geq -4$
D. $x \leq -4$

答案： A

4. 如果一个二次函数图象的顶点在$x$轴上,且在直线$x = 2$的右侧部分是上升的.请写出一个符合条件的函数解析式:y=(x−2)²(答案不唯一).

答案： y=(x−2)²(答案不唯一) [解析]
∵二次函数图象的顶点在x轴上,在直线x=2的右侧部分是上升的,
∴二次函数图象的顶点为(2,0),对称轴是直线x=2,且开口向上,
∴符合条件的函数解析式为y=(x−2)²(答案不唯一).
归纳总结　形如y=a(x−h)²的二次函数图象的显著特征是顶点在x轴上.

5. 按下列要求求出二次函数的解析式.
(1)已知抛物线$y = a(x - h)^2经过点(-3,2),(-1,0)$,求该抛物线的解析式;
该抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}(x+1)^2$.
(2)与$y = -2(x + 3)^2$的图象形状相同,但开口方向不同,顶点坐标是$(1,0)$的抛物线解析式.
抛物线解析式为$y=2(x−1)^2$.

答案：
(1)根据题意,得$\begin{cases}a(-3 - h)^2 = 2,\\a(-1 - h)^2 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = \frac{1}{2},\\h = -1.\end{cases}$
所以抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$(x+1)².
(2)由抛物线的顶点坐标、开口方向和形状,可知所求抛物线的解析式为y=2(x−1)².

6. (2025·山东潍坊期末)在同一平面直角坐标系中,一次函数$y = ax + c和二次函数y = a(x + c)^2$的图象大致为(B).

答案： B [解析]A.函数y=ax+c中,a＞0,c＞0,y=a(x+c)²中,a＜0,c＜0,故A错误;B.函数y=ax+c中,a＜0,c＞0,y=a(x+c)²中,a＜0,c＞0,故B正确;C.函数y=ax+c中,a＞0,c＜0,y=a(x+c)²中,a＞0,c＞0,故C错误;D.函数y=ax+c中,a＜0,c＞0,y=a(x+c)²中,a＞0,c＜0,故D错误.故选B.

7. (2023·南充中考)若点$P(m,n)在抛物线y = ax^2(a \neq 0)$上,则下列各点在抛物线$y = a(x + 1)^2$上的是(D).
A. $(m,n + 1)$
B. $(m + 1,n)$
C. $(m,n - 1)$
D. $(m - 1,n)$

答案： D [解析]
∵点P(m,n)在抛物线y=ax²(a≠0)上,
∴n=am².把x=m代入y=a(x+1)²,得a(m+1)²≠n+1,故点(m,n+1)不在抛物线y=a(x+1)²上,故A不合题意;把x=m+1代入y=a(x+1)²,得a(m+2)²≠n,故点(m+1,n)不在抛物线y=a(x+1)²上,故B不合题意;把x=m代入y=a(x+1)²,得a(m+1)²≠n−1,故点(m,n−1)不在抛物线y=a(x+1)²上,故C不合题意;把x=m−1代入y=a(x+1)²,得a(m−1+1)²=am²=n,故点(m−1,n)在抛物线y=a(x+1)²上,故D符合题意.故选D.

8. (2025·浙江温州期中)在平面直角坐标系中,两个二次函数图象的顶点$P,Q皆在x$轴上,直线$AD平行于x$轴,且与两图象相交于$A,C,B,D$四点,且$AB ＞ CD ＞ BC$,各点位置如图所示,若$AB = 10,PQ = 8$,则$CD$的长度为(B).

A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

答案： B [解析]
∵AB=10,
∴设点A的横坐标为m,则点B的横坐标为m+10,点C的横坐标为m+10+BC,点D的横坐标为m+10+BC+CD.
∵点P,Q分别为两条抛物线的顶点,A,B,C,D四点的纵坐标相同,
∴点P的横坐标为$\frac{m + m + 10 + BC}{2} = \frac{2m + 10 + BC}{2}$,点Q的横坐标为$\frac{m + 10 + m + 10 + BC + CD}{2} = \frac{2m + 20 + BC + CD}{2}$.
∵PQ=8,
∴$\frac{2m + 20 + BC + CD}{2} - \frac{2m + 10 + BC}{2} = 8$,
∴CD=6.故选B.

9. (2025·安徽六安金安区期中)已知二次函数$y = 3(x - a)^2$的图象上,当$x ＞ 2$时,$y随x$的增大而增大,则$a$的取值范围是a ≤ 2.

答案： a ≤ 2 [解析]二次函数y=3(x−a)²的对称轴为直线x=a.
∵当x＞a时,y的值随x值的增大而增大,
∴a ≤ 2.

10. (2025·江苏南通通州区育才中学月考)已知抛物线$y = (x - 1)^2经过点A(n,y_1),B(n + 2,y_2)$,若$y_1 ＜ y_2$,则$n$的值可以为____2.(写出一个符合条件的值即可)

答案： 2(答案不唯一) [解析]由条件可知当x＜1时,y随x的增大而减小,当x＞1时,y随x的增大而增大,
∴当n＜n+2＜1时,y₁＞y₂,不符合题意;当1＜n＜n+2时,y₁＜y₂,符合题意;当n＜1＜n+2时,若y₁＜y₂,则点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离,
∴1−n＜n+2−1,解得n＞0,综上,当n＞0时,y₁＜y₂.不妨令n=2,故答案为2(答案不唯一).