《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. (2025·福建福州马尾区期中)已知方程$3x^{2}-(k-1)x+3k+2= 0$有一个根是-1,则k的值是(B).
A. -3
B. -1
C. 1
D. 2

答案： B

2. 实验班原创已知$x= -1是方程ax^{2}+bx-c= 0$的一个根,则必有(C).
A. $a+b= c$
B. $a^{2}+b= c$
C. $a-b= c$
D. $a^{2}-b= c$

答案： C

3. (2025·福建泉州师范学院附中期中)已知$x= m是一元二次方程x^{2}-x-2= 0$的一个根,则代数式$m^{2}-m+2024$的值为(B).
A. 2025
B. 2026
C. 2027
D. 2028

答案： B

4. (2024·深圳中考)一元二次方程$x^{2}-4x+a= 0的一个解为x= 1$,则$a=$3.

答案： 3

5. (2025·山东菏泽期中)若$x= m$是一元二次方程$x^{2}+x-1= 0$一个根,则$2m^{2}+2m+2025$的值为____2027.

答案： 2027 [解析]
∵$x = m$是一元二次方程$x^{2}+x - 1 = 0$的一个根，
∴$m^{2}+m - 1 = 0$，即$m^{2}+m = 1$，
∴$2m^{2}+2m + 2025 = 2(m^{2}+m)+2025 = 2×1 + 2025 = 2027$。

6. (2025·河北承德期中)已知一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$,若$a+b+c= 0$,则方程必有一根为$x = 1$.

答案： $x = 1$ [解析]
∵$a + b + c = 1$，
∴$x = 1$是一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a≠0)$的一个根。

7. 教材P4习题T3·变式下列哪些数是方程$x^{2}-6x+8= 0$的根?
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

答案： 将$x = 2$代入方程$x^{2}-6x + 8 = 0$中，左边$= 2^{2}-2×6 + 8 = 0$，即左边$=$右边，故$x = 2$是方程$x^{2}-6x + 8 = 0$的根；将$x = 4$代入方程$x^{2}-6x + 8 = 0$中，左边$= 4^{2}-4×6 + 8 = 0$，即左边$=$右边，故$x = 4$是方程$x^{2}-6x + 8 = 0$的根。同理可得，当$x = 0,1,3,5,6,7,8,9,10$时，都不是方程$x^{2}-6x + 8 = 0$的根，故2和4是方程$x^{2}-6x + 8 = 0$的根。

8. (2025·江苏镇江新区期中)若关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+2= 0(a≠0)有一根为x= 2025$,则一元二次方程$a(x+1)^{2}+b(x+1)+2= 0$必有一根为(B).
A. 2023
B. 2024
C. 2025
D. 2026

答案： B [解析]把方程$a(x + 1)^{2}+b(x + 1)+2 = 0$看作关于$(x + 1)$的一元二次方程，
∵关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + 2 = 0(a≠0)$有一根为$x = 2025$，
∴关于$x + 1$的一元二次方程$a(x + 1)^{2}+b(x + 1)+2 = 0$有一根为$x + 1 = 2025$，解得$x = 2024$，
∴一元二次方程$a(x + 1)^{2}+b(x + 1)+2 = 0$必有一根为$x = 2024$。故选B。

9. (2024·聊城二模)已知a是方程$x^{2}-2024x+1= 0$的一个根,则$a^{2}-2023a+\frac {2024}{a^{2}+1}=$(B).
A. 2022
B. 2023
C. 2024
D. 2025

答案： B [解析]
∵$a$是方程$x^{2}-2024x + 1 = 0$的一个根，
∴$a^{2}-2024a + 1 = 0$，
∴$a^{2}+1 = 2024a$，$a^{2}= 2024a - 1$，$a≠0$，
∴$a - 2024+\frac{1}{a}=0$，即$a+\frac{1}{a}=2024$，
∴$a^{2}-2023a+\frac{2024}{a^{2}+1}=2024a - 1 - 2023a+\frac{2024}{2024a}=a - 1+\frac{1}{a}=2024 - 1 = 2023$。故选B。

10. (重庆南岸区自主招生)已知m为方程$x^{2}+x-3= 0$的一个根,则代数式$m^{3}+2m^{2}-2m+6$的值为____9.

答案： 9 [解析]
∵$m$为方程$x^{2}+x - 3 = 0$的一个根，
∴$m^{2}+m - 3 = 0$，
∴$m^{2}+m = 3$，
∴$m^{3}+2m^{2}-2m + 6 = m^{3}+m^{2}+m^{2}+m - 3m + 6 = m(m^{2}+m)+(m^{2}+m)-3m + 6 = 3m + 3 - 3m + 6 = 9$。

11. (2025·河南新乡长垣期中)阅读下列材料:方程$x^{2}+3x-1= 0$两边同时除以$x(x≠0)$,得$x+3-\frac {1}{x}= 0$,即$x-\frac {1}{x}= -3$.因为$(x-\frac {1}{x})^{2}= x^{2}+\frac {1}{x^{2}}-2$,所以$x^{2}+\frac {1}{x^{2}}= (x-\frac {1}{x})^{2}+2= 11$.根据以上材料解答下列问题:
(1)已知方程$x^{2}-4x-1= 0(x≠0)$,则$x-\frac {1}{x}=$4;$x^{2}+\frac {1}{x^{2}}=$18.
(2)若m是方程$2x^{2}-7x+2= 0$的一个根,求$m^{2}+\frac {1}{m^{2}}$的值.

答案：
(1)4 18 [解析]方程$x^{2}-4x - 1 = 0(x≠0)$两边同时除以$x$，得$x - 4-\frac{1}{x}=0$，
∴$x-\frac{1}{x}=4$，
∵$(x-\frac{1}{x})^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2$，
∴$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x-\frac{1}{x})^{2}+2 = 18$。
(2)
∵$m$是方程$2x^{2}-7x + 2 = 0$的一个根，
∴$2m^{2}-7m + 2 = 0$，易知$m≠0$，方程两边同时除以$2m$，得$m-\frac{7}{2}+\frac{1}{m}=0$，
∴$m+\frac{1}{m}=\frac{7}{2}$，
∵$(m+\frac{1}{m})^{2}=m^{2}+\frac{1}{m^{2}}+2$，
∴$m^{2}+\frac{1}{m^{2}}=(m+\frac{1}{m})^{2}-2 = (\frac{7}{2})^{2}-2=\frac{49}{4}-2=\frac{41}{4}$。