《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

12. 中考新考法新定义问题定义:如果关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)满足a-b+c= 0$,那么我们称这个方程为“黄金方程”.
(1)判断一元二次方程$4x^{2}+11x+7= 0$是否为“黄金方程”,并说明理由；
(2)已知$3x^{2}-mx+n= 0$是关于x的“黄金方程”,若m是此方程的一个根,求代数式$8m^{2}-4m+5$的值.
(1)方程$4x^{2}+11x + 7 = 0$是“黄金方程”。理由如下：∵$a = 4$，$b = 11$，$c = 7$，∴$a - b + c = 4 - 11 + 7 = 0$，∴一元二次方程$4x^{2}+11x + 7 = 0$是“黄金方程”。
(2)∵$3x^{2}-mx + n = 0$是关于$x$的“黄金方程”，其中$a = 3$，$b = -m$，$c = n$，∴$3 - (-m)+n = 0$，∴$n = -3 - m$，∴原方程可化为$3x^{2}-mx - 3 - m = 0$，∵$m$是此方程的一个根，∴$3m^{2}-m^{2}-3 - m = 0$，即$2m^{2}-m - 3 = 0$，∴$2m^{2}-m = 3$，∴$8m^{2}-4m + 5 = 4(2m^{2}-m)+5 = 4×3 + 5 = 17$。

答案：
(1)方程$4x^{2}+11x + 7 = 0$是“黄金方程”。理由如下：
∵$a = 4$，$b = 11$，$c = 7$，
∴$a - b + c = 4 - 11 + 7 = 0$，
∴一元二次方程$4x^{2}+11x + 7 = 0$是“黄金方程”。
(2)
∵$3x^{2}-mx + n = 0$是关于$x$的“黄金方程”，其中$a = 3$，$b = -m$，$c = n$，
∴$3 - (-m)+n = 0$，
∴$n = -3 - m$，
∴原方程可化为$3x^{2}-mx - 3 - m = 0$，
∵$m$是此方程的一个根，
∴$3m^{2}-m^{2}-3 - m = 0$，即$2m^{2}-m - 3 = 0$，
∴$2m^{2}-m = 3$，
∴$8m^{2}-4m + 5 = 4(2m^{2}-m)+5 = 4×3 + 5 = 17$。

13. 换元思想请阅读下列材料:
问题:已知方程$x^{2}+x-1= 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为y,则$y= 2x$,
所以$x= \frac {y}{2}$.
把$x= \frac {y}{2}$代入已知方程,得$(\frac {y}{2})^{2}+\frac {y}{2}-1= 0$,
化简,得$y^{2}+2y-4= 0$,
故所求方程为$y^{2}+2y-4= 0$.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式):
(1)已知方程$x^{2}+3x-2= 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别为已知方程根的相反数;
解:设所求方程的根为$y$，则$y = -x$，所以$x = -y$，把$x = -y$代入方程$x^{2}+3x - 2 = 0$中，得$y^{2}-3y - 2 = 0$，即所求方程为$y^{2}-3y - 2 = 0$。
(2)已知关于x的一元二次方程$ax^{2}-bx+c= 0(a≠0)$有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.
解:设所求方程的根为$y$，则$y=\frac{1}{x}$，所以$x=\frac{1}{y}$，把$x=\frac{1}{y}$代入方程$ax^{2}-bx + c = 0$中，得$a·(\frac{1}{y})^{2}-b·\frac{1}{y}+c = 0$，化简，得$cy^{2}-by + a = 0$，若$c = 0$，则$ax^{2}-bx = 0$，即$x(ax - b) = 0$，可得有一个解为$x = 0$，不合题意，所以$c≠0$，即所求方程为$cy^{2}-by + a = 0(c≠0)$。

答案：
(1)设所求方程的根为$y$，则$y = -x$，所以$x = -y$，把$x = -y$代入方程$x^{2}+3x - 2 = 0$中，得$y^{2}-3y - 2 = 0$，即所求方程为$y^{2}-3y - 2 = 0$。
(2)设所求方程的根为$y$，则$y=\frac{1}{x}$，所以$x=\frac{1}{y}$，把$x=\frac{1}{y}$代入方程$ax^{2}-bx + c = 0$中，得$a·(\frac{1}{y})^{2}-b·\frac{1}{y}+c = 0$，化简，得$cy^{2}-by + a = 0$，若$c = 0$，则$ax^{2}-bx = 0$，即$x(ax - b) = 0$，可得有一个解为$x = 0$，不合题意，所以$c≠0$，即所求方程为$cy^{2}-by + a = 0(c≠0)$。

14. 中考新考法新定义问题在实数范围内定义一种运算“*”,其运算法则为$a*b= a^{2}-ab$,如:$2*1= 2^{2}-2×1= 2$.根据这个法则:
(1)计算:$3*2= $3;
(2)判断$(t+2)*(2t+1)= 0$是否为一元二次方程;是
(3)判断方程$(x+2)*1= 3的根是否为x_{1}= \frac {-3-\sqrt {5}}{2},x_{2}= \frac {-3+\sqrt {5}}{2}$,并说明理由.否，理由：方程变形得$(x + 2)^{2}-(x + 2) = 3$，整理得$x^{2}+3x - 1 = 0$，当$x_{1}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$和$x_{2}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$时，方程左边均不为0

答案：
(1)3 [解析]根据题中的新定义，得$3*2 = 3^{2}-3×2 = 9 - 6 = 3$。
(2)由新定义，得$(t + 2)^{2}-(t + 2)(2t + 1) = 0$，整理，得$t^{2}+t - 2 = 0$，是一元二次方程。
(3)方程变形，得$(x + 2)^{2}-(x + 2) = 3$，整理，得$x^{2}+4x + 4 - x - 2 - 3 = 0$，即$x^{2}+3x - 1 = 0$，当$x_{1}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$时，方程$x^{2}+3x - 1 = 0$的左边$≠0$；当$x_{2}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$时，方程$x^{2}+3x - 1 = 0$的左边$≠0$，故方程$(x + 2)*1 = 3$的根不是$x_{1}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$。

15. (2024·南充中考)已知m是方程$x^{2}+4x-1= 0$的一个根,则$(m+5)(m-1)$的值为-4.

答案： -4 [解析]把$x = m$代入$x^{2}+4x - 1 = 0$，得$m^{2}+4m - 1 = 0$，
∴$m^{2}+4m = 1$，
∴$(m + 5)(m - 1) = m^{2}-m + 5m - 5 = m^{2}+4m - 5 = 1 - 5 = -4$。
思路引导 代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式$m^{2}+4m$的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值。