《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. 下列是关于二次函数$y = -2x^2$的图象表述：①抛物线的开口向上；②抛物线的开口向下；③抛物线的顶点是$(0,0)$；④抛物线关于$y$轴对称；⑤抛物线在$y$轴左侧部分自左向右呈下降趋势；⑥抛物线在$y$轴右侧部分自左向右呈下降趋势. 其中正确的是(C).
A. ①③④
B. ②③④⑤
C. ②③④⑥
D. ①③④⑤

答案： C

2. 已知点$(-2,m)$在二次函数$y = 2x^2$图象上,则$m$的值是(D).
A. 1
B. -1
C. -8
D. 8

答案： D

3. 关于四个函数$y = -2x^2$,$y = \frac{1}{3}x^2$,$y = 3x^2$,$y = -x^2$的共同点,下列说法正确的是(C).
A. 开口向上
B. 都有最低点
C. 对称轴是$y$轴
D. $y随x$增大而增大

答案： C [解析]函数y = -2x²的开口向下，有最高点，对称轴是y轴，当x ＞ 0时，y随x的增大而减小，当x ＜ 0时，y随x的增大而增大；函数y = $\frac{1}{3}$x²的开口向上，有最低点，对称轴是y轴，当x ＞ 0时，y随x的增大而增大，当x ＜ 0时，y随x的增大而减小；函数y = 3x²的开口向上，有最低点，对称轴是y轴，当x ＞ 0时，y随x的增大而增大，当x ＜ 0时，y随x的增大而减小；函数y = -x²的开口向下，有最高点，对称轴是y轴，当x ＞ 0时，y随x的增大而减小，当x ＜ 0时，y随x的增大而增大.故选C.

4. 已知$y = (k + 2)x^{k^2 + k - 4}$是二次函数,且当$x ＜ 0$时,$y随x$的增大而增大.
(1)$k$的值为______,对称轴为______；
(2)若点$A的坐标为(1,m)$,则该图象上点$A$的对称点的坐标为______；
(3)请画出该函数图象,并根据图象写出当$-2 \leq x ＜ 4$时,$y$的取值范围为______.

答案：

(1) -3 y轴 [解析]由y = (k + 2)x$^{k^2 + k - 4}$是二次函数，且当x ＜ 0时，y随x的增大而增大，得$\begin{cases} k^2 + k - 4 = 2, \\ k + 2 ＜ 0, \end{cases}$解得k = -3，$\therefore$二次函数的解析式为y = -x²，$\therefore$对称轴为y轴.
(2) (-1, -1) [解析] $\because$点A的坐标为(1, m)，$\therefore$当x = 1时，y = -1，$\therefore$点A(1, -1). $\because$点A关于y轴对称，$\therefore$点A的对称点的坐标为(-1, -1).
(3) -16 ＜ y ≤ 0 [解析]利用端点的函数值，并结合函数图象可求.
如图所示：

当x = -2时，y = -2² = -4，当x = 4时，y = -4² = -16，$\therefore$当-2 ≤ x ＜ 4时，-16 ＜ y ≤ 0.

5. 关于二次函数$y = -\frac{3}{4}x^2 - 1$的图象,下列说法错误的是(D).
A. 抛物线开口向下
B. 对称轴为直线$x = 0$
C. 顶点坐标为$(0,-1)$
D. 当$x ＜ 0$时,$y随x$的增大而减小,当$x ＞ 0$时,$y随x$的增大而增大

答案： D

6. 已知二次函数$y = x^2 - 1$.
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)画出它的图象.

答案：

(1) $\because$二次函数y = x² - 1，$\therefore$抛物线的开口方向向上，顶点坐标为(0, -1)，对称轴为y轴.
(2)在y = x² - 1中，令y = 0可得x² - 1 = 0.
解得x = -1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1, 0)和(1, 0).
令x = 0可得y = -1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0, -1).
抛物线的顶点坐标为(0, -1)，对称轴为y轴，
再求出关于对称轴对称的两个点(-2, 3)和(2, 3)，
将上述点列表如下：
x -2 -1 0 1 2
y = x² - 1 3 0 -1 0 3
描点可画出其图象如图所示：

关键提醒 二次函数图象描点画图的时候找到关键的几个点，如与x轴的交点与y轴的交点以及顶点的坐标.

7. 在同一平面直角坐标系中,画出下列三条抛物线：$y = \frac{1}{2}x^2$,$y = \frac{1}{2}x^2 + 3$,$y = \frac{1}{2}x^2 - 3$.
(1)观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)请你说出抛物线$y = \frac{1}{2}x^2 + c$的开口方向,对称轴及顶点坐标.

答案：

(1)列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y = $\frac{1}{2}$x² … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
描点、连线，可得抛物线y = $\frac{1}{2}$x².
将y = $\frac{1}{2}$x²的图象分别向上和向下平移3个单位长度，就分别得到y = $\frac{1}{2}$x² + 3与y = $\frac{1}{2}$x² - 3的图象(如图所示).

抛物线y = $\frac{1}{2}$x²，y = $\frac{1}{2}$x² + 3与y = $\frac{1}{2}$x² - 3开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是(0, 0)，(0, 3)和(0, -3).
(2)抛物线y = $\frac{1}{2}$x² + c的开口向上，对称轴是y轴(或直线x = 0)，顶点坐标为(0, c).