《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

12. 实验班原创 阅读后解答问题.
解方程：$2x^{2}-3x-2= 0$
解：$2x^{2}-3x-2= 0,$
拆项、分组,得$2x^{2}-4x+x-2= 0,$
提公因式,得$2x(x-2)+(x-2)= 0,$
再提公因式,得$(x-2)(2x+1)= 0,$
所以$x-2= 0或2x+1= 0,$
解得$x_{1}= 2,x_{2}= -\frac {1}{2}.$
运用以上因式分解法解方程：$6x^{2}+7x-3= 0.$
解：$6x^2 + 7x - 3 = 0$，拆项、分组，得$6x^2 + 9x - 2x - 3 = 0$，提公因式，得$3x(2x + 3) - (2x + 3) = 0$，再提公因式，得$(2x + 3)(3x - 1) = 0$，所以$2x + 3 = 0$或$3x - 1 = 0$，解得$x_1 = - \frac{3}{2}$，$x_2 = \frac{1}{3}$。

答案： $6x^2 + 7x - 3 = 0$，
拆项、分组，得$6x^2 + 9x - 2x - 3 = 0$，
提公因式，得$3x(2x + 3) - (2x + 3) = 0$，
再提公因式，得$(2x + 3)(3x - 1) = 0$，
所以$2x + 3 = 0$或$3x - 1 = 0$，解得$x_1 = - \frac{3}{2}$，$x_2 = \frac{1}{3}$。

13. (2024·青海中考)(1)解一元二次方程：$x^{2}-4x+3= 0;$
(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根,求第三边的长.

答案：
(1)
∵$x^2 - 4x + 3 = 0$，
∴$(x - 1)(x - 3) = 0$，
∴$x - 1 = 0$或$x - 3 = 0$，
∴$x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
(2)当3是直角三角形的斜边长时，第三边长$= \sqrt{3^2 - 1^2} = 2\sqrt{2}$；
当1和3是直角三角形的直角边长时，第三边长$= \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$，
∴第三边的长为$2\sqrt{2}$或$\sqrt{10}$。

14. 如果关于x的方程$x^{2}+bx+c= 0$有两个实数根,且其中一个根比另一个根大2,那么称这样的方程为“隔根方程”.例如,方程$x^{2}+2x= 0的两个根是x_{1}= 0,x_{2}= -2$,则方程$x^{2}+2x= 0$是“隔根方程”.
(1)方程$x^{2}-x-20= 0$是“隔根方程”吗？判断并说明理由.
方程$x^2 - x - 20 = 0$不是“隔根方程”。理由如下：∵$x^2 - x - 20 = 0$，∴$(x - 5)(x + 4) = 0$，∴$x - 5 = 0$或$x + 4 = 0$，解得$x_1 = 5$，$x_2 = - 4$。∵$5 - (- 4) = 9 \neq 2$，∴方程$x^2 - x - 20 = 0$不是“隔根方程”。
(2)若关于x的方程$x^{2}+(m-1)x-m= 0$是“隔根方程”,求m的值.
∵$x^2 + (m - 1)x - m = 0$，∴$(x + m)(x - 1) = 0$，∴$x + m = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_1 = - m$，$x_2 = 1$。当$- m = 1 + 2$时，解得$m = - 3$；当$- m + 2 = 1$时，解得$m = 1$。综上所述，$m$的值为$- 3$或1。

答案：
(1)方程$x^2 - x - 20 = 0$不是“隔根方程”。理由如下：
∵$x^2 - x - 20 = 0$，
∴$(x - 5)(x + 4) = 0$，
∴$x - 5 = 0$或$x + 4 = 0$，解得$x_1 = 5$，$x_2 = - 4$。
∵$5 - (- 4) = 9 \neq 2$，
∴方程$x^2 - x - 20 = 0$不是“隔根方程”。
(2)
∵$x^2 + (m - 1)x - m = 0$，
∴$(x + m)(x - 1) = 0$，
∴$x + m = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_1 = - m$，$x_2 = 1$。
当$- m = 1 + 2$时，解得$m = - 3$；
当$- m + 2 = 1$时，解得$m = 1$。
综上所述，$m$的值为$- 3$或1。

15. 转化思想(2025·江苏常州新北区北郊中学期中)我们知道,解一元二次方程,可以把它转化为两个一元一次方程来解,其实用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程,例如一元三次方程$x^{3}+x^{2}-2x= 0$,可以通过因式分解把它转化为$x(x^{2}+x-2)= 0$,通过解方程$x= 0和x^{2}+x-2= 0$,可得方程$x^{3}+x^{2}-2x= 0$的解.
(1)方程$x^{3}+x^{2}-2x= 0的解是x_{1}= 0,x_{2}= $-2,$x_{3}= $1;
(2)用“转化”的思想求方程$\sqrt {2x+3}= x$的解;
(3)试直接写出方程组$\left\{\begin{array}{l} x^{2}-4y^{2}= 0,\\ x+y= 1\end{array}\right. $的解.

答案：
(1)$- 2$ 1 [解析]$x^3 + x^2 - 2x = 0$，$x(x^2 + x - 2) = 0$，$x(x + 2)(x - 1) = 0$，$x = 0$或$x + 2 = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = - 2$，$x_3 = 1$。
(2)$\sqrt{2x + 3} = x$，
两边平方，得$2x + 3 = x^2(x \geq 0)$，
根号下有未知数，可以将方程两边平方
即$x^2 - 2x - 3 = 0$，
∴$(x + 1)(x - 3) = 0$，
∴$x + 1 = 0$或$x - 3 = 0$，解得$x_1 = - 1$，$x_2 = 3$。
经检验，$x_1 = - 1$不是原方程的解，$x_2 = 3$是原方程的解，
必须满足$x \geq 0$
∴原方程的解是$x = 3$。
(3)$\begin{cases}x^2 - 4y^2 = 0①\\x + y = 1②\end{cases}$，由②，得$y = 1 - x$③，
把③代入①，得$x^2 - 4(1 - x)^2 = 0$，
化简，得$- 3x^2 + 8x - 4 = 0$，解得$x = 2$或$x = \frac{2}{3}$。
当$x = 2$时，$y = - 1$，当$x = \frac{2}{3}$时，$y = \frac{1}{3}$，
∴原方程组的解为$\begin{cases}x_1 = 2\\y_1 = - 1\end{cases}$，$\begin{cases}x_2 = \frac{2}{3}\\y_2 = \frac{1}{3}\end{cases}$。

16. (2024·凉山州中考)已知$y^{2}-x= 0,x^{2}-3y^{2}+x-3= 0$,则x的值为____3.

答案： 3 [解析]
∵$y^2 - x = 0$，
∴$y^2 = x \geq 0$。
∵$x^2 - 3y^2 + x - 3 = 0$，
∴$x^2 - 3x + x - 3 = 0$，
即$x^2 - 2x - 3 = 0$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = - 1$（舍去），
即$x$的值为3。