《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

10. (2025·重庆丰都期中)如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y = ax^2 + c(a \neq 0)的图象经过正方形ABOC的三个顶点A$,$B$,$C$.
(1)求点$A$,$B$,$C$的坐标;(用含$c$的代数式表示)
(2)求$ac$的值.

答案：

(1) 如图,连接BC交OA于点D,
当x=0时,y=c,
∴AO=c,A(0,c).
∵四边形ABOC是正方形，
∴BC⊥AO,BC=OA=c,BD=CD=$\frac{1}{2}$BC,AD=OD=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$c,
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$c,
∴B(−$\frac{1}{2}$c,$\frac{1}{2}$c),C($\frac{1}{2}$c,$\frac{1}{2}$c).
　　　　　　　　　　　　　　
(2) 把点C坐标代入y=ax²+c(a≠0),
得$\frac{1}{4}$ac²+c=$\frac{1}{2}$c,
∴$\frac{1}{4}$ac²=−$\frac{1}{2}$c.
由图知c＞0,
∴ac=−2.

11. 中考新考法 线段间数量关系探究 已知点$C为抛物线y = ax^2 + 1$的顶点.
(1)直接写出点$C$的坐标为____;
(2)若抛物线经过点$(2,3)$.
①直接写出抛物线的解析式为____;
②如图(1),点$B(0,5)$,以$OB为底的等腰直角三角形OAB交抛物线于点P$,将点$P绕原点O顺时针旋转45^{\circ}到点P'$,求点$P'$的坐标;
(3)如图(2),过抛物线上一点$M作直线l平行于y$轴,直线$CE交抛物线另一点于点E$,交直线$l于点D$,过点$M作MN // x$轴,交抛物线于另一点$N$,过点$E作EF \perp MN于点F$.若点$M的横坐标为\frac{2}{a}$,试探究$DM与FM$之间的数量关系,并说明理由.

答案：

(1) (0,1)　[解析]令x=0,得y=1,
∴点C的坐标为(0,1).
(2) ①y=$\frac{1}{2}$x²+1　[解析]把(2,3)代入y=ax²+1,得3=4a+1,解得a=$\frac{1}{2}$.
故抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+1.
②
∵点B的坐标为(0,5),△OAB为等腰直角三角形,
∴点A的坐标为($\frac{5}{2}$,$\frac{5}{2}$).
设直线AB的解析式为y=kx+5,
将点A的坐标代入y=kx+5,得$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{2}$k+5,解得k=−1,
∴直线AB的解析式为y=−x+5.
联立$\begin{cases}y = \frac{1}{2}x^2 + 1\\y = -x + 5\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$或$\begin{cases}x = -4\\y = 9\end{cases}$ (舍去),
∴点P的坐标为(2,3).
如图，设将点P'绕原点O顺时针旋转45°到点P"，则OP ⊥OP".
由旋转的性质,得点P"的坐标为(3,−2),
连接PP"交OP'于点H,则点H是PP"的中点.
由中点坐标公式，得点H($\frac{5}{2}$,$\frac{1}{2}$),
则直线OH的解析式为y=$\frac{1}{5}$x.
设点P'(m,$\frac{1}{5}$m),m＞0,由题意,得OP=OP',
即m²+($\frac{1}{5}$m)²=2²+3²,解得m=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$(负值已舍去).
故点P'的坐标为($\frac{5\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$).
　　　　　　　　　　　　　
(3) DM=2FM.理由如下:
对于y=ax²+1,当x=$\frac{2}{a}$时,y=a·($\frac{2}{a}$)²+1=$\frac{4}{a}$+1,
∴点M的坐标为($\frac{2}{a}$,$\frac{4}{a}$+1).
设直线CE的解析式为y=k'x+b,
将点C的坐标代入y=k'x+b，得b=1,
∴直线CE的解析式为y=k'x+1,
∴D($\frac{2}{a}$,$\frac{2k'}{a}$+1).
联立$\begin{cases}y = ax^2 + 1\\y = k'x + 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = \frac{k'}{a}\\y = \frac{k'^2}{a} + 1\end{cases}$或$\begin{cases}x = 0\\y = 1\end{cases}$
∴点E的坐标为($\frac{k'}{a}$,$\frac{k'^2}{a}$+1),
∴点F的坐标为($\frac{k'}{a}$,$\frac{4}{a}$+1),
∴FM=$\frac{2}{a}$−$\frac{k'}{a}$=$\frac{2 - k'}{a}$,DM=($\frac{4}{a}$+1)−($\frac{2k'}{a}$+1)=$\frac{4 - 2k'}{a}$=2FM,即DM=2FM.
解后反思　解二次函数与几何知识的综合应用这类问题关键是善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件.

12. 数形结合思想(2024·湖南中考改编)已知二次函数$y = - x^2 + c的图象经过点A(- 2,5)$,点$P(x_1,y_1)$,$Q(x_2,y_2)$是此二次函数的图象上的两个动点.
(1)求此二次函数的解析式;$y=-x²+9$
(2)如图,此二次函数的图象与$x轴的正半轴交于点B$,点$P在直线AB$的上方,过点$P作PC \perp x轴于点C$,交$AB于点D$,连接$AC$,$DQ$,$PQ$.若$x_2 = x_1 + 3$,求证:$\frac{S_{\triangle PDQ}}{S_{\triangle ADC}}$的值为定值.3

答案：
(1) 将点A的坐标代入抛物线解析式,得5=−4+c,
∴c=9,
∴此二次函数的解析式为y=−x²+9.
(2) 令y=−x²+9=0,则x=±3,则点B(3,0).
由点A,B的坐标，得直线AB的解析式为y=−x+3.
由题意，得点P,Q,D的坐标分别为(x₁,−x₁²+9),(x₂,−x₂²+9),(x₁,−x₁+3),x₂−x₁=3,
∴S_△PDQ=$\frac{1}{2}$PD·(x_Q - x_P)=$\frac{1}{2}$(−x₁²+9+x₁−3)(x₂−x₁)=$\frac{3}{2}$(−x₁²+x₁+6),
同理可得S_△ADC=$\frac{1}{2}$CD·(x_D - x_A)=$\frac{1}{2}$(−x₁²+x₁+6),
∴$\frac{S_△PDQ}{S_△ADC}$=3为定值.