《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. 如图,在$\odot O$中,直径$CD⊥$弦AB于点E,$AM⊥BC$于点M,交CD于点N,连接AD.
(1)求证:$AD= AN;$
(2)若$AB= 2\sqrt {15},ON= 2OE$,求$\odot O$的半径.

答案：

(1)
∵CD⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠C+∠B=90°。
同理∠C+∠CNM=90°，
∴∠CNM=∠B。
∵∠CNM=∠AND，
∴∠AND=∠B。
∵∠D=∠B，
∴∠AND=∠D，
∴AD=AN。
(2)如图，连接OA，设OE的长为x，则ON=2x。
∵AN=AD，CD⊥AB，
∴DE=NE=3x。
∴OD=OE+ED=x+3x=4x，
∴OA=OD=4x。
∵AB⊥CD，AB=2√15，
∴AE=√15。
在Rt△OAE中，OE²+AE²=OA²，
∴x²+(√15)²=(4x)²，
解得x=1（负值舍去），
∴OA=4，即⊙O的半径为4。

2. 如图,CD为$\odot O$的弦,P为$\odot O$上一点,$OP// CD,∠PCD= 15^{\circ }.$
(1)求$∠POC$的度数;150°
(2)若$\widehat {AB}= \widehat {CD},AB⊥CD$,点A在CD的上方,直接写出$∠BPA$的度数.60°或120°

答案：
(1)
∵OP//CD，∠PCD=15°，
∴∠OPC=∠PCD=15°。
∵OP=OC，
∴∠OPC=∠OCP=15°。
∴∠POC=180°−∠OPC−∠OCP=150°。
(2)∠BPA的度数为60°或120°。

3. 实验班原创 如图,四边形ABCD是菱形,$\odot O$经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE.
(1)求证:$AB= AE;$
证明：∵∠D+∠AEC=180°，∠AEB+∠AEC=180°，
∴∠AEB=∠D。
∵四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D。
∴∠B=∠AEB。∴AB=AE。
(2)若$∠D= 75^{\circ }$,求$∠EAC$的度数.
解：∵∠AEB=∠D=∠B=75°，
∴∠BAE=180°−75°−75°=30°。
∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC。
∴∠BAC=∠BCA=1/2(180°−∠B)=1/2×(180°−75°)=52.5°。∴∠EAC=∠BAC−∠BAE=52.5°−30°=22.5°。

答案：
(1)
∵∠D+∠AEC=180°，∠AEB+∠AEC=180°，
∴∠AEB=∠D。
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D。
∴∠B=∠AEB。
∴AB=AE。
(2)
∵∠AEB=∠D=∠B=75°，
∴∠BAE=180°−75°−75°=30°。
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC。
∴∠BAC=∠BCA=1/2(180°−∠B)=1/2×(180°−75°)=52.5°。
∴∠EAC=∠BAC−∠BAE=52.5°−30°=22.5°。

4. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,以AB为直径作$\odot O$,过点C作直线CD交AB的延长线于点D,使$∠BCD= ∠A.$
(1)求证:CD为$\odot O$的切线;
(2)若DE平分$∠ADC$,且分别交AC,BC于点E,F,当$CE= 2$时,求EF的长.
(1)证明：连接OC。∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°。
又OC=OB，∴∠ABC=∠OCB。∵∠BCD=∠A，
∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°。
∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线。
(2)解：∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠ADE。
又∠BCD=∠A，∴∠A+∠ADE=∠BCD+∠CDF，即∠CEF=∠CFE。∴CE=CF=2。
∵∠ACB=90°，∴EF=$2\sqrt{2}$。

答案：
(1)连接OC。
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°。
又OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB。
∵∠BCD=∠A，
∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°。
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线。
(2)
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠ADE。
又∠BCD=∠A，
∴∠A+∠ADE=∠BCD+∠CDF，即∠CEF=∠CFE。
∴CE=CF=2。
∵∠ACB=90°，
∴EF=√(CE²+CF²)=2√2。