《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. 如图,已知抛物线$c_{1}的顶点为A(-1,4)$,与$y轴的交点为D(0,3)$.
(1)请直接写出$c_{1}$的解析式;$y=-x^2 - 2x + 3$
(2)若直线$l_{1}:y= x+m与c_{1}$仅有唯一的交点,求$m$的值;$\frac{21}{4}$
(3)若抛物线$c_{1}关于y轴对称的抛物线记作c_{2}$,平行于$x轴的直线记作l_{2}:y= n$.试结合图象回答:当$n$为何值时,$l_{2}与c_{1}$和c_{2}共有:①两个交点;$n=4$②三个交点;$n=3$③四个交点.$3＜n＜4$或$n＜3$

答案：
(1)
∵抛物线 $ c_1 $ 的顶点为 $ A(-1,4) $,
∴设抛物线 $ c_1 $ 的解析式为 $ y = a(x + 1)^2 + 4 $,
把 $ D(0,3) $ 代入 $ y = a(x + 1)^2 + 4 $, 得 $ 3 = a + 4 $,
∴ $ a = -1 $.
∴抛物线 $ c_1 $ 的解析式为 $ y = -(x + 1)^2 + 4 $,
即 $ y = -x^2 - 2x + 3 $.
(2)由 $ \begin{cases} y = -x^2 - 2x + 3 \\ y = x + m \end{cases} $, 得 $ x^2 + 3x + m - 3 = 0 $.
∵直线 $ l_1:y = x + m $ 与 $ c_1 $ 仅有唯一的交点,
∴ $ \Delta = 9 - 4m + 12 = 0 $, 解得 $ m = \frac{21}{4} $.
(3)
∵抛物线 $ c_1 $ 关于 $ y $ 轴对称的抛物线记作 $ c_2 $,
∴抛物线 $ c_2 $ 的顶点坐标为 $ (1,4) $, 与 $ y $ 轴的交点为 $ (0,3) $,
∴抛物线 $ c_2 $ 的解析式为 $ y = -x^2 + 2x + 3 $,
∴①当直线 $ l_2 $ 过抛物线 $ c_1 $ 的顶点 $ (-1,4) $ 和抛物线 $ c_2 $ 的顶点 $ (1,4) $ 时, 即 $ n = 4 $ 时, $ l_2 $ 与 $ c_1 $ 和 $ c_2 $ 共有两个交点.
②当直线 $ l_2 $ 过点 $ D(0,3) $ 时, 即 $ n = 3 $ 时, $ l_2 $ 与 $ c_1 $ 和 $ c_2 $ 共有三个交点.
③当 $ 3 ＜ n ＜ 4 $ 或 $ n ＜ 3 $ 时, $ l_2 $ 与 $ c_1 $ 和 $ c_2 $ 共有四个交点.

变式1.1 (2025·陕西宝鸡期中)如图,抛物线$y= -\frac{1}{2}x^{2}+bx+c与x轴交于点A和点B(4,0)$,与$y轴交于点C(0,4)$,点$E$在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;$y = -\frac{1}{2}x^2 + x + 4$
(2)点$E$在第一象限内,过点$E作EF// y$轴,交$BC于点F$,作$EH// x$轴,交抛物线于点$H$,点$H在点E$的左侧,以线段$EF$,$EH为邻边作矩形EFGH$,当矩形$EFGH的周长为11$时,求线段$EH$的长.4

答案：
(1)
∵抛物线图象经过点 $ B(4,0) $ 和 $ C(0,4) $,
∴ $ \begin{cases} -\frac{1}{2} \times 4^2 + 4b + c = 0 \\ c = 4 \end{cases} $, 解得 $ \begin{cases} b = 1 \\ c = 4 \end{cases} $,
∴抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + x + 4 $.
(2)设直线 $ BC $ 的解析式为 $ y = kx + 4 $, 则 $ 0 = 4k + 4 $,
解得 $ k = -1 $,
∴直线 $ BC $ 的解析式为 $ y = -x + 4 $.
设 $ E(x,-\frac{1}{2}x^2 + x + 4) $, 且 $ 0 ＜ x ＜ 4 $, 则 $ F(x,-x + 4) $,
∴ $ GH = EF = -\frac{1}{2}x^2 + x + 4 - (-x + 4) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x $.
∵抛物线的对称轴为直线 $ x = -\frac{1}{2 \times (-\frac{1}{2})} = 1 $,
∴ $ H(2 - x,-\frac{1}{2}x^2 + x + 4) $,
∴ $ GF = EH = 2x - 2 $.
依题意, 得 $ 2(-\frac{1}{2}x^2 + 2x + 2x - 2) = 11 $,
解得 $ x = 5 $(舍去)或 $ x = 3 $.
∴ $ EH = 2 \times 3 - 2 = 4 $.

变式1.2 (2025·河北保定期中)如图,抛物线$y= ax^{2}+bx+c(a＞0)与x轴交于点A和点B(4,0)$,与$y轴交于点C$,对称轴为直线$x= 3$,$OC= 4OA$.
(1)求抛物线的解析式;$y = x^2 - 6x + 8$
(2)$P为直线BC$下方抛物线上一动点,过点$P作y轴的平行线与直线BC交于点Q$.嘉嘉说:当点$P与点A$重合时,$PQ$长最大;琪琪说:当点$P的横坐标为1$时,$\triangle PBC的面积为6$.请选择其中一人的说法进行说理.
选择嘉嘉：设直线$BC$的解析式为$y = mx + n$，由题意得$\begin{cases}4m + n = 0 \\ n = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -2 \\ n = 8\end{cases}$，故直线$BC$解析式为$y = -2x + 8$。设点$P$横坐标为$k$，则$P(k,k^2 - 6k + 8)$，$Q(k,-2k + 8)$，$PQ=-2k + 8-(k^2 - 6k + 8)=-k^2 + 4k=-(k - 2)^2 + 4$，当$k = 2$时，$PQ$最大，此时$P(2,0)$与点$A$重合，故嘉嘉说法正确。
选择琪琪：设直线$BC$解析式为$y = mx + n$，得$\begin{cases}4m + n = 0 \\ n = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -2 \\ n = 8\end{cases}$，直线$BC$解析式为$y = -2x + 8$。点$P$横坐标为1时，$P(1,3)$，$Q(1,6)$，$PQ=3$，$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}×3×4=$6，故琪琪说法正确。

答案：
(1)
∵抛物线与 $ x $ 轴交点 $ A $ 和点 $ B(4,0) $, 对称轴为直线 $ x = 3 $,
∴ $ A(2,0) $.
∴ $ OA = 2 $.
∵ $ OC = 4OA $,
∴ $ OC = 8 $,
∴ $ C(0,8) $.
由题意可得 $ \begin{cases} 4a + 2b + c = 0 \\ 16a + 4b + c = 0 \\ c = 8 \end{cases} $, 解得 $ \begin{cases} a = 1 \\ b = -6 \\ c = 8 \end{cases} $,
∴抛物线的解析式为 $ y = x^2 - 6x + 8 $.
(2)选择嘉嘉.
设直线 $ BC $ 的解析式为 $ y = mx + n $.
由题意可得 $ \begin{cases} 4m + n = 0 \\ n = 8 \end{cases} $, 解得 $ \begin{cases} m = -2 \\ n = 8 \end{cases} $,
∴直线 $ BC $ 的解析式为 $ y = -2x + 8 $.
设点 $ P $ 的横坐标为 $ k $, 则 $ P(k,k^2 - 6k + 8) $, $ Q(k,-2k + 8) $,
∴ $ PQ = -2k + 8 - (k^2 - 6k + 8) = -k^2 + 4k = -(k - 2)^2 + 4 $,
∴当 $ x = 2 $ 时, $ PQ $ 长最大, 此时 $ P(2,0) $, 与点 $ A $ 重合,
∴当点 $ P $ 与点 $ A $ 重合时, $ PQ $ 长最大.
选择琪琪.
设直线 $ BC $ 的解析式为 $ y = mx + n $. 把 $ B(4,0) $, $ C(0,8) $ 代入 $ y = mx + n $, 得 $ \begin{cases} 4m + n = 0 \\ n = 8 \end{cases} $, 解得 $ \begin{cases} m = -2 \\ n = 8 \end{cases} $,
∴直线 $ BC $ 的解析式为 $ y = -2x + 8 $.
由题意可得点 $ P $, $ Q $ 的横坐标为 $ 1 $,
将 $ x = 1 $ 代入 $ y = x^2 - 6x + 8 $, 得 $ y = 1 - 6 + 8 = 3 $,
∴ $ P(1,3) $,
将 $ x = 1 $ 代入 $ y = -2x + 8 $, 得 $ y = -2 + 8 = 6 $,
∴ $ Q(1,6) $,
∴ $ PQ = 6 - 3 = 3 $,
∴ $ S_{\triangle PBC} = S_{\triangle BPQ} + S_{\triangle CPQ} = \frac{1}{2} \cdot PQ(x_B - x_P) + \frac{1}{2}PQ \cdot (x_P - x_C) = \frac{1}{2}PQ(x_B - x_C) = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 $.