《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

6. (2025·安徽淮北期末)如图(1),装有水的水槽放置在水平桌面上,其横截面是以$AB为直径的半圆O$,$AB = 26cm$,$MN$为水面截线,$MN = 24cm$,$GH$为桌面截线,$MN// GH$。
(1)作$OC\perp MN于点C$,求$OC$的长；
(2)将图中的水倒出一部分得到图(2),发现水面高度下降了$7cm$,求此时水面截线减少了多少。

答案：

(1) 如图
(1)，连接 $ ON $。
$ \because AB = 26 cm, \therefore ON = \frac{1}{2}AB = 13 cm $。
$ \because OC \perp MN, \therefore CN = \frac{1}{2}MN = \frac{1}{2} \times 24 = 12(cm) $，
$ \therefore OC = \sqrt{ON^{2} - CN^{2}} = 5 cm $。
(2) 如图
(2)，过 $ O $ 作 $ OH \perp EF $ 于点 $ H, \therefore EF = 2FH $。
$ \because $ 水面高度下降了 $ 7 cm, \therefore OH = 5 + 7 = 12(cm) $。
$ \because OF = \frac{1}{2}AB = 13 cm $，
$ \therefore FH = \sqrt{OF^{2} - OH^{2}} = 5 cm, \therefore EF = 10 cm $，
$ \therefore $ 此时水面截线减少 $ 24 - 10 = 14(cm) $。

7. (2025·江西南昌 28 中教育集团期末)如图,$AO = BO$,$\odot O交AB于C$,$D$两点,半径$OE\perp AB于点F$。求证：$AC = BD$。
证明：$ \because OA = OB, OE \perp AB $ 于点 $ F, \therefore AF = BF $。又 $ OE $ 是 $ \odot O $ 的半径，$ OE \perp AB, \therefore CF = DF $，$ \therefore AF - CF = BF - DF $，即 $ AC = BD $。

答案： $ \because OA = OB, OE \perp AB $ 于点 $ F, \therefore AF = BF $。
又 $ OE $ 是 $ \odot O $ 的半径，$ OE \perp AB, \therefore CF = DF $，
$ \therefore AF - CF = BF - DF $，即 $ AC = BD $。

8. (2025·江苏泰州靖江期中)如图,以$AB为直径的半圆O上有一点C$,过点$C作CD\perp OA$,垂足为$D$,过点$A作AE\perp OC$,垂足为$E$(不与点$O$,$C$重合),$AE的延长线交半圆O于F$。
求证：$CD = \frac{1}{2}AF$。

证明：$ \because AE \perp OC, \therefore AE = FE = \frac{1}{2}AF, \angle AEO = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle A + \angle AOE = 90^{\circ}. \because CD \perp OA, \therefore \angle CDO = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle C + \angle AOE = 90^{\circ}, \therefore \angle A = \angle C $。
在 $ \triangle AOE $ 和 $ \triangle COD $ 中，$ \begin{cases} \angle A = \angle C, \\ OA = OC, \\ \angle AOE = \angle COD, \end{cases} $
$ \therefore \triangle AOE \cong \triangle COD(ASA). \therefore AE = CD. \therefore CD = \frac{1}{2}AF $

答案： $ \because AE \perp OC, \therefore AE = FE = \frac{1}{2}AF, \angle AEO = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle A + \angle AOE = 90^{\circ}. \because CD \perp OA, \therefore \angle CDO = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle C + \angle AOE = 90^{\circ}, \therefore \angle A = \angle C $。
在 $ \triangle AOE $ 和 $ \triangle COD $ 中，$ \begin{cases} \angle A = \angle C, \\ OA = OC, \\ \angle AOE = \angle COD, \end{cases} $
$ \therefore \triangle AOE \cong \triangle COD(ASA). \therefore AE = CD. \therefore CD = \frac{1}{2}AF $。

9. 如图,线段$AB = 10$,$AC = 8$,点$D$,$E在以AB为直径的半圆O$上,且四边形$ACDE$是平行四边形,过点$O作OF\perp DE于点F$,求$AE$的长。

答案：
如图，过点 $ E $ 作 $ EG \perp AB $ 于点 $ G $，连接 $ OE $，
则 $ OE = OA = \frac{1}{2}AB = 5 $，
$ \angle EGO = 90^{\circ} $。
$ \because $ 四边形 $ ACDE $ 是平行四边形，
$ \therefore DE = AC = 8, DE // AB $。
$ \because OF \perp DE $，即 $ \angle OFE = 90^{\circ} $，
$ \therefore EF = \frac{1}{2}DE = 4, \angle FOG = 180^{\circ} - \angle OFE = 90^{\circ} $，
$ \therefore $ 四边形 $ OFEG $ 是矩形，
$ \therefore OG = EF = 4, \therefore AG = 5 - 4 = 1 $。
在 $ Rt\triangle OEG $ 中，$ EG = \sqrt{OE^{2} - OG^{2}} = 3 $。
在 $ Rt\triangle AGE $ 中，$ AE = \sqrt{AG^{2} + EG^{2}} = \sqrt{10} $。

10. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$O为\triangle ABC$角平分线的交点,以$OC为半径的\odot O交\triangle ABC于点D$,$E$,$F$,$G$。
(1)求证：$CD = EF$；
(2)若$\odot O的半径为4\sqrt{2}$,$AE = 2$,求$AB$的长。

答案：

(1) 如图，过点 $ O $ 作 $ OM \perp AB $ 于点 $ M, ON \perp AC $ 于点 $ N $，
$ OH \perp CG $ 于点 $ H $，连接 $ OE, OD $。
$ \because $ 点 $ O $ 为 $ \triangle ABC $ 角平分线的交点 $ \therefore OM = ON $。
$ \because OE = OD, \therefore Rt\triangle OME \cong Rt\triangle OND(HL) $。
$ \therefore ME = ND. \because EF = 2ME, CD = 2ND, \therefore CD = EF $。
(2) 由
(1) 可知 $ CD = EF $，
同理可得 $ CD = CG, \therefore CD = EF = CG $。
$ \because $ 点 $ O $ 为 $ \triangle ABC $ 角平分线的交点，
$ \therefore OM = ON = OH, \angle OCH = \frac{1}{2}\angle ACB = 45^{\circ} $。
$ \because \angle ACB = 90^{\circ}, \therefore $ 四边形 $ ONCH $ 是正方形。
$ \therefore OM = ON = OH = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}EF = \frac{1}{2}CG $。
$ \because OC = 4\sqrt{2} $，由勾股定理易得 $ OH = CH = 4 $。
$ \therefore EF = CD = CG = 2CH = 8 $。
易证 $ \triangle AOM \cong \triangle AON(AAS). \therefore AM = AN = 6 $。
同理 $ BM = BH, \therefore AC = 10 $。
设 $ BM = BH = x $，则 $ BC = x + 4, AB = x + 6 $。
$ \because \angle ACB = 90^{\circ}, \therefore AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} $，
即 $ (6 + x)^{2} = 10^{2} + (4 + x)^{2} $，解得 $ x = 20, \therefore BM = 20 $。
$ \therefore AB = AM + BM = 6 + 20 = 26 $。