《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. (2025·北京大学附中期中)如图,北京隆福寺毗卢殿明间藻井现藏于北京古代建筑博物馆中,其设计独特,由正八边形、菱形和圆形组合而成.中间雕着一条栩栩如生的盘龙,由整块金丝楠木精雕细琢而成,细节之处彰显匠人技艺.其中正八边形一个内角大小为(C).

A. $108^{\circ}$
B. $120^{\circ}$
C. $135^{\circ}$
D. $150^{\circ}$

答案： C

2. 传统文化 古钱币 如图,一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔,已知圆的直径与正方形的对角线之比为 $3:1$,则圆的面积约为正方形面积的(B).

A. 27倍
B. 14倍
C. 9倍
D. 3倍

答案： B

3. 教材P108习题T5·变式 如图,工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽,现测得扳手的开口宽度 $b = 3cm$,则螺帽边长 $a= $$\sqrt{3}$$cm$.

答案： $\sqrt{3}$

4. 某中学在校园里建了一个读书亭.如图,它的地基是半径为 $6m$ 的正六边形.
(1)地基的周长是多少?
(2)地基的面积是多少?

答案：

(1)如图，连接OB,OC.
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴$∠BOC=\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}$,

∴$△OBC$是等边三角形，
∴$BC=OB=6m$,
∴正六边形ABCDEF的周长$=6×6=36(m)$.
(2)如图，过点O作$OG⊥BC$于点G.
∵$△OBC$是等边三角形，$OB=6m$,
∴$∠BOG=\frac{1}{2}∠BOC=30^{\circ}$,$∴BG=\frac{1}{2}OB=3m$,
∴$OG=\sqrt{OB^{2}-BG^{2}}=3\sqrt{3}m$,
∴$S_{△OBC}=\frac{1}{2}BC\cdot OG=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}(m^{2})$,
∴$S_{六边形ABCDEF}=6S_{△OBC}=6×9\sqrt{3}=54\sqrt{3}(m^{2})$.

5. 新情境 蜂巢结构 (2023·山西中考)蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点 $P,Q,M$ 均为正六边形的顶点.若点 $P,Q$ 的坐标分别为 $(-2\sqrt{3},3),(0,-3)$,则点 $M$ 的坐标为(A).

A. $(3\sqrt{3},-2)$
B. $(3\sqrt{3},2)$
C. $(2,-3\sqrt{3})$
D. $(-2,-3\sqrt{3})$

答案： A

6. 已知四个正六边形如图摆放在圆中,顶点 $A,B,C,D,E,F$ 在圆上.若两个大正六边形的边长均为2,则小正六边形的边长是( ).

A. $3-\sqrt{3}$
B. $\frac{2\sqrt{3}-1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{13}-1}{2}$

答案：
D [解析]如图，连接AD交PM于点O,则点O是圆心，过点O作$ON⊥DE$于点N,连接MF,取MF的中点G,连接GH,GQ,

由对称性可知$OM=OP=EN=DN=1$.
由正六边形的性质，得$ON=2\sqrt{3}$,
∴$OD=\sqrt{DN^{2}+ON^{2}}=\sqrt{13}=OF$.
∴$MF=\sqrt{13}-1$.
由正六边形的性质，知$△GFH,△GHQ,△GQM$都是正三角形，$∴FH=\frac{1}{2}MF=\frac{\sqrt{13}-1}{2}$.故选D.

7. (2024·天津西青区期末)如图,已知点 $A$ 是半径为3的 $\odot O$ 上任意一点,以点 $A$ 为圆心、 $OA$ 为半径作弧,交 $\odot O$ 于点 $B$,以点 $B$ 为圆心, $OA$ 为半径作弧交 $\odot O$ 于点 $C$,同上述作图方法逆时针作出点 $D,E,F$,依次连接 $A→B→C→D→E→F→A$,则这个多边形的周长为______18.

答案： 18