《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. (2025·安徽六安期中)下列函数一定是二次函数的是(D)。
A. $ y = ax ^ { 2 } + bx + c $
B. $ y = - x - 4 $
C. $ y = 2 x ^ { 2 } - \frac { 3 } { x } $
D. $ v = 3 s ^ { 2 } + s - 2 $

答案： D

2. 二次函数 $ y = x ^ { 2 } - 4 x + 5 $ 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(C)。
A. 1,4,5
B. -1,4,5
C. 1,-4,5
D. -1,-4,5

答案： C

3. 已知函数 $ y = x ^ { m - 1 } + 2 $ 是关于 $ x $ 的二次函数,则 $ m $ 的值为3。

答案： 3

4. (2025·江苏苏州吴江区期中)若函数 $ y = ( m + 1 ) \cdot x ^ { | m | + 1 } - 5 $ 是二次函数,则 $ m $ 的值为____1。

答案： 1 [解析]由二次函数的定义,知当$\left\{\begin{array}{l} m + 1 ≠ 0\\ |m| + 1 = 2\end{array}\right. $时,该函数是二次函数,$\therefore \left\{\begin{array}{l} m ≠ -1\\ m = ±1\end{array}\right. $,$\therefore m = 1$.
　易错警示　判断一个函数是否为二次函数时，不但要注意次数最高项的次数是2,还要注意二次项系数不为0,否则易出错.

5. (教材 P28 问题 2·变式)为防治流感病毒,某医药公司加大生产力度,已知一月份的产值为 1 亿元,若每月平均增长率为 $ x $,第一季度的总产值为 $ y $ (亿元),则 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式为$y = x^{2} + 3x + 3$。

答案： $y = x^{2} + 3x + 3$ [解析]根据题意,得$y = 1 + 1×(1 + x) + 1×(1 + x)^{2} = 1 + 1 + x + 1 + 2x + x^{2} = x^{2} + 3x + 3$.

6. (教材 P29 练习 T2·变式)学校准备将一块长 20 m,宽 14 m 的矩形绿地扩建,如果长和宽都增加 $ x $ m,设增加的面积是 $ y \mathrm { m } ^ { 2 } $。
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式。
(2)若要使绿地面积增加 $ 72 \mathrm { m } ^ { 2 } $,长与宽都要增加多少米？

答案：
(1)由题意,得$y = (20 + x)(14 + x) - 20×14$,化简,得$y = x^{2} + 34x$,即y与x之间的函数关系式是$y = x^{2} + 34x$.
(2)将$y = 72$代入$y = x^{2} + 34x$,得$72 = x^{2} + 34x$,即$x^{2} + 34x - 72 = 0$,解得$x_1 = -36$(舍去),$x_2 = 2$.
　故若要使绿地面积增加$72m^{2}$,长与宽都要增加2m.

7. 下列函数关系中,可以看作二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c ( a \neq 0 ) $ 模型的是(C)。
A. 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B. 我国人口年自然增长率 1%,这样我国人口总数随年份的关系
C. 竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
D. 圆的周长与圆的半径之间的关系

答案： C [解析]A. 距离一定,汽车行驶的速度与行驶的时间的积是常数,即距离一定,速度与时间成反比例关系;B. 设原来的人口是a,x年后的人口数是y,则$y = a(1 + 1\%)^{x}$,不是二次函数关系;C. 竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)是二次函数.D. 设半径是r,则周长$C = 2πr$,是一次函数关系,故选C.

8. 实验班原创 二次函数 $ y = x ^ { - 3 + n } - n x + 1 $ 的一次项系数是(A)。
A. -5
B. 1
C. 3
D. 5

答案： A

9. (2025·内蒙古呼和浩特期中)下列函数中,是二次函数的有(B)。
① $ y = 3 - \sqrt { 3 } x ^ { 2 } $；② $ y = \frac { 2 } { x ^ { 2 } } $；③ $ y = x ( 3 - 5 x ) $；④ $ y = ( 1 + 2 x ) ( 1 - 2 x ) + 4 x ^ { 2 } $；⑤ $ 2 x ^ { 2 } - 3 x y + 4 = 0 $；⑥ $ x ^ { 2 } = 0 $。
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个

答案： B

10. 新情境 商品降价销售 将进货价为 70 元/件的某种商品按零售价 100 元/件出售时每天能卖出 20 件,若这种商品的零售价在一定范围内每降价 1 元/件,其日销售量就增加 1 件,为了每天获得最大利润,决定每件降价 $ x $ 元,设每天的利润为 $ y $ 元,则 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式是 $ y = $$-x^{2} + 10x + 600$。

答案： $-x^{2} + 10x + 600$ [解析]根据题意,得$y = (100 - x - 70)(20 + x) = -x^{2} + 10x + 600$.

11. (山东德州双语中学自主招生)已知函数 $ y = ( m ^ { 2 } - m ) x ^ { 2 } + ( m - 1 ) x + m + 1 $。
(1)若这个函数是一次函数,求 $ m $ 的值。
(2)若这个函数是二次函数,则 $ m $ 的值应怎样？

答案：
(1)根据一次函数的定义,得$m^{2} - m = 0,m - 1 ≠ 0$,解得$m = 0$,$\therefore$当$m = 0$时,这个函数是一次函数.
(2)根据二次函数的定义,得$m^{2} - m ≠ 0$,解得$m ≠ 0$且$m ≠ 1$,$\therefore$当$m ≠ 0$且$m ≠ 1$时,这个函数是二次函数.