《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

5. (2024·东营河口区模拟)用一段长32m的篱笆和长8m的墙AB,围成一个矩形的花园,设平行于墙的一边DE的长为x m.
(1)如图(1),若矩形花园的一边靠墙AB,另三边由篱笆CDEF围成,当花园面积为$78m^2$时,求x的值.6
(2)如图(2),若矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成,另三边由篱笆ADEF围成,花园面积能否为$110m^2?$若能,求出BF的长;若不能,请说明理由.不能，理由：∵DE=x m，∴AD=(20-x)m，∴x(20-x)=110，整理得x²-20x+110=0.∵Δ=(-20)²-4×1×110=-40＜0，∴原方程无实数根，即花园面积不能为110m²

答案：
(1)由题意，得$\frac{1}{2}(32-x) x=78$，解得$x_{1}=6$，$x_{2}=26$.
$\because 26＞8$，$\therefore x=26$（舍去），$\therefore x=6$. 故$x$的值为6.
(2)$\because D E=x \mathrm{~m}$，$\therefore A D=\frac{32+8-2 x}{2}=(20-x) \mathrm{m}$，
$\therefore x(20-x)=110$，整理得$x^{2}-20 x+110=0$.
$\because \Delta=b^{2}-4 a c=(-20)^{2}-4 \times 1 \times 110=-40＜0$，
$\therefore$原方程无实数根，即花园面积不能为$110 \mathrm{~m}^{2}$.

6. 一个两位数的个位数字与十位数字的和为11,并且个位数字与十位数字的平方和为85,求这个两位数.

答案： 设个位数字为$x$，则十位数字为$(11-x)$.
根据题意，得$x^{2}+(11-x)^{2}=85$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=9$.
当$x=2$时，两位数为92；当$x=9$时，两位数为29.
故这个两位数为92或29.

7. 如图,在△ABC中,∠B= 90°,AB= 12cm,BC= 18cm,动点P从点B开始沿边BA向A点以2cm/s的速度移动(不与点A重合),动点Q从点C开始沿边CB向点B以3cm/s的速度移动(不与点B重合).如果P,Q分别从B,C同时出发,设运动的时间为t(单位:s),四边形APQC的面积为y(单位$:cm^2).$
(1)直接写出BP=2tcm,BQ=18-3tcm(用含有t的代数式表示).
(2)求四边形APQC的面积(用含有t的代数式表示),并写出t的取值范围.
(3)四边形APQC的面积能否等于$129cm^2,$若能,求出运动的时间;若不能,说明理由.

答案：
(1)$2 t \quad(18-3 t)$
(2)$S_{\text {四边形 } A P Q C}=S_{\triangle A B C}-S_{\triangle P B Q}=\frac{1}{2} \times 12 \times 18-\frac{1}{2} \times 2 t \times(18-3 t)=3 t^{2}-18 t+108$.
$\because\left\{\begin{array}{l}t＞0, \\ 2 t＜12, \\ 18-3 t＞0,\end{array}\right. \quad \therefore 0＜t＜6$.
(3)不能. 理由如下：
令$3 t^{2}-18 t+108=129$，
解得$t_{1}=7$，$t_{2}=-1$（不合题意，舍去）.
$\because 0＜t＜6$，$\therefore t=7$不在$x$的取值范围内，$\therefore$方程无解.
$\therefore$四边形$A P Q C$的面积不能等于$129 \mathrm{~cm}^{2}$.

8. 如图,一根木棍OE垂直平分柱子AB,AB= 200cm,OE= 260cm,一只小猫C从柱子底端的点A处以2cm/s的速度向顶端点B爬行,同时,另一只小猫D从点O以3cm/s的速度沿木棍OE爬行.问:是否存在这样的时刻,使两只小猫与点O组成的三角形面积是$1800cm^2?$

答案： 存在. 理由如下：
①当小猫$C$在$A O$上运动时，设$x \mathrm{~s}$时两只小猫与点$O$组成的三角形面积为$1800 \mathrm{~cm}^{2}$，
由题意，得$\frac{1}{2} \cdot 3 x \cdot(100-2 x)=1800$，
整理，得$x^{2}-50 x+600=0$，解得$x_{1}=20$，$x_{2}=30$；
②当小猫$C$在$O B$上运动时，设$y \mathrm{~s}$时两只小猫与点$O$组成的三角形面积为$1800 \mathrm{~cm}^{2}$，
由题意，得$\frac{1}{2} \times 3 y \cdot(2 y-100)=1800$，
整理，得$y^{2}-50 y-600=0$，解得$y_{1}=60$，$y_{2}=-10$（舍去）.
综上所述，在$20 \mathrm{~s}$，$30 \mathrm{~s}$或$60 \mathrm{~s}$时，两只小猫与点$O$组成的