《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

11. 实验班原创 如果$(7a+7b+\sqrt {34})(7a+7b-\sqrt {34})= 2024$,求$a+b$的值.

答案： 整理,得$[7(a+b)]^{2}-34=2024,$
$\therefore (a+b)^{2}=42$,开方,得$a+b=\pm \sqrt {42}.$

12. 若关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$的一个根是1,且a,b满足$b= \sqrt {a-2}+\sqrt {4-2a}-3$,求关于y的方程$\frac {1}{4}y^{2}-c= 0$的根.
由题意,得$a-2≥0,4-2a≥0$,解得$a=$2,$\therefore b=$-3.
∵关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的一个根是$1,\therefore a+b+c=0,\therefore c=$1.
则关于y的方程为$\frac {1}{4}y^{2}-$1$=0,$
整理,得$y^{2}=$4,$\therefore y_{1}=$2,$y_{2}=$-2.

答案： 由题意,得$a-2≥0,4-2a≥0$,解得$a=2,\therefore b=-3.$
∵关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的一个根是$1,\therefore a+b+c=0,\therefore c=1.$
则关于y的方程为$\frac {1}{4}y^{2}-1=0,$
整理,得$y^{2}=4,\therefore y_{1}=2,y_{2}=-2.$

13. 分类讨论思想 已知一元二次方程$(x-3)^{2}= 1$的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长,求$\triangle ABC$的周长.

答案： $\because (x-3)^{2}=1,\therefore x-3=\pm 1$,解得$x_{1}=4,x_{2}=2.$
∵一元二次方程$(x-3)^{2}=1$的两个解恰好分别是等腰三角形 ABC 的底边长和腰长,
∴①当底边长和腰长分别为4和2时,$2+2=4$,此时不能构成三角形；
②当底边长和腰长分别是2和4时,$4+4＞2$,可以构成三角形,$△ABC$的周长为$2+4+4=10.$

14. 中考新考法 解题方法型阅读理解题 在解一元二次方程时,发现有这样一种解法:
如:解方程$x(x+8)= 4,$
解:原方程可变形,得$[(x+4)-4][(x+4)+4]= 4,(x+4)^{2}-4^{2}= 4,(x+4)^{2}= 20,$
直接开平方,得$x_{1}= -4+2\sqrt {5},x_{2}= -4-2\sqrt {5}.$
我们称这种解法为“平均数法”.
(1)下面是小明用“平均数法”解方程$(x+2)\cdot (x+8)= 40$时写的解题过程:
解:原方程可变形,得$[(x+a)-b][(x+a)+b]= 40,(x+a)^{2}-b^{2}= 40,(x+a)^{2}= 40+b^{2},$
直接开平方,得$x_{1}= c,x_{2}= d.$
上述解题过程中的a,b,c,d所表示的数分别是5,3,2,-12.
(2)请用“平均数法”解方程:$(x-2)(x+6)= 4.$

答案：
(1)5 3 2 -12 [解析]原方程可变形,得$[(x+5)-$$3][(x+5)+3]=40,(x+5)^{2}-3^{2}=40,(x+5)^{2}=40+3^{2}.$
平均数$=\frac {x+2+x+8}{2}=x+5$
直接开平方并整理,得$x_{1}=2,x_{2}=-12$.上述过程中的a,b,c,d表示的数分别为5,3,2,-12.
(2)原方程可变形,得$[(x+2)-4][(x+2)+4]=4,$
$(x+2)^{2}-4^{2}=4,(x+2)^{2}=4+4^{2}=20,$
$\therefore x=-2\pm 2\sqrt {5},\therefore x_{1}=-2+2\sqrt {5},x_{2}=-2-2\sqrt {5}.$

15. (2024·凉山州中考)若关于x的一元二次方程$(a+2)x^{2}+x+a^{2}-4= 0$的一个根是x= 0,则a的值为(A).
A. 2
B. -2
C. 2或-2
D. $\frac {1}{2}$

答案： A [解析]
∵关于x的一元二次方程$(a+2)x^{2}+x+a^{2}-4=0$的一个根是$x=0,\therefore a^{2}-4=0$且$a+2≠0$,解得$a=2$.故选 A.