《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

7. 已知一元二次方程$x^{2}+px+q+1= 0$的一个根为2.
(1)求q关于p的关系式；
$q=-2p-5$
(2)求证：方程$x^{2}+px+q= 0$有两个不相等的实数根；
$\because x^{2}+px+q=0$，$\therefore \Delta =p^{2}-4q=p^{2}-4(-2p-5)=(p+4)^{2}+4＞0$，$\therefore$方程$x^{2}+px+q=0$有两个不相等的实数根。
(3)若方程$x^{2}+px+q+1= 0$有两个相等的实数根,求方程$x^{2}+px+q= 0$的两根.
1和3

答案：
(1)$\because$一元二次方程$x^{2}+px+q+1=0$的一个根为2，
$\therefore 4+2p+q+1=0$，$\therefore q=-2p-5$。
(2)$\because x^{2}+px+q=0$，
$\therefore \Delta =p^{2}-4q=p^{2}-4(-2p-5)=(p+4)^{2}+4＞0$，
$\therefore$方程$x^{2}+px+q=0$有两个不相等的实数根。
(3)$\because$方程$x^{2}+px+q+1=0$有两个相等的实数根，
$\therefore x_{1}=x_{2}=2$，$\therefore x_{1}+x_{2}=-p=4$，$x_{1}x_{2}=q+1=4$，
$\therefore p=-4$，$q=3$。
把$p=-4$，$q=3$代入$x^{2}+px+q=0$，得$x^{2}-4x+3=0$，
解得$x=1$或$x=3$。

8. (2025·江苏连云港灌南期中)有两个一元二次方程为A：$ax^{2}+bx+c= 0$,B：$cx^{2}+bx+a= 0$,其中$a-c≠0$,下列四个结论中,错误的是(D).
A. 如果方程A有两个不相等的实数根,那么方程B也有两个不相等的实数根
B. 如果方程A两根符号相同,那么方程B的两根符号也相同
C. 如果2是方程A的一个根,那么$\frac {1}{2}$是方程B的一个根
D. 如果方程A和方程B有一个相同的根,那么这个根必是1

答案： D [解析]A.$\because A:ax^{2}+bx+c=0$，$B:cx^{2}+bx+a=0$，
$\therefore$在方程$ax^{2}+bx+c=0$中$\Delta =b^{2}-4ac$，在方程$cx^{2}+bx+a=0$中$\Delta =b^{2}-4ac$，
$\therefore$如果方程$A$有两个不相等的实数根，那么方程$B$也有两个不相等的实数根，故该选项正确；
B. 由根与系数的关系可知：一元二次方程$A$、$B$的两根之积分别是$\frac {c}{a}$和$\frac {a}{c}$，$\because$它们符号相同，
$\therefore$如果方程$A$有两根符号相同，那么方程$B$的两根符号也相同，故该选项正确；
C.$\because 2$是方程$A$的一个根，$\therefore 4a+2b+c=0$，
$\therefore a+\frac {1}{2}b+\frac {1}{4}c=0$，$\therefore \frac {1}{2}$是方程$B$的一个根，故该选项正确；
D.$A-B$得$(a-c)x^{2}+c-a=0$，即$(a-c)x^{2}=a-c$。
$\because a-c≠0$，$\therefore x^{2}=1$，解得$x=\pm 1$，故该选项错误。
故选D。

9. 整体思想(2025·江苏南京东南实验学校月考)若关于x的方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$的两根之和为p,两根之积为q,则关于y的方程$a(y-1)^{2}+b(y-1)+c= 0$的两根之积是____$q+p+1$.

答案： $q+p+1$ [解析]设关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的两个根为$x_{1}$，$x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=p$，$x_{1}x_{2}=q$，
$\therefore$关于$y$的方程的两根为$y_{1}=x_{1}+1$，$y_{2}=x_{2}+1$，
把$(y-1)$看作整体，作为未知数
$\therefore y_{1}y_{2}=(x_{1}+1)(x_{2}+1)=x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})+1=q+p+1$。

10. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(m+5)x+3m+6= 0$的两根是一个矩形的两邻边的长.
(1)求证：不论实数m取何值,方程总有实数根.
(2)当矩形的对角线长为5时,求m的值.
(3)当m为何值时,矩形为正方形?

答案：
(1)$\because \Delta =[-(m+5)]^{2}-4×1×(3m+6)=m^{2}-2m+1=(m-1)^{2}$，不论$m$取何值，$(m-1)^{2}≥0$，
$\therefore \Delta ≥0$，$\therefore$不论实数$m$取何值，该方程总有实数根。
(2)设矩形的两边长分别为$a$，$b$，$\therefore a$，$b$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(m+5)x+3m+6=0$的两根，
$\therefore a+b=m+5$，$ab=3m+6$，$\therefore (a+b)^{2}=(m+5)^{2}$，
$\therefore a^{2}+b^{2}+2ab=m^{2}+10m+25$，
$\therefore a^{2}+b^{2}=m^{2}+10m+25-2(3m+6)=m^{2}+4m+13$。
$\because$矩形的对角线长为5，$\therefore a^{2}+b^{2}=5^{2}$，$\therefore m^{2}+4m+13=25$，解得$m_{1}=-6$，$m_{2}=2$。
$\because a+b=m+5＞0$，即$m＞-5$，$\therefore m$的值为2。
$a$，$b$需符合实际意义
(3)由题意，得$\Delta =[-(m+5)]^{2}-4×1×(3m+6)=m^{2}-2m+1=(m-1)^{2}=0$，解得$m_{1}=m_{2}=1$。
矩形为正方形，即方程有两个相等的实根
故当$m=1$时，矩形为正方形。

11. 若$α=\frac {1+\sqrt {5}}{2}$为一元二次方程$x^{2}-x+t= 0$的根.
(1)方程的另外一个根$β=$$\frac {1-\sqrt {5}}{2}$,$t=$$-1$；
(2)求$α^{6}+8β$的值；
(3)求作一个关于y的一元二次方程,使其二次项系数为1,且两根分别为$α^{2},β^{2}$.

答案：
(1)$\frac {1-\sqrt {5}}{2}$ $-1$
(2)由
(1)知$\alpha =\frac {1+\sqrt {5}}{2}$为一元二次方程$x^{2}-x-1=0$的根，$\therefore \alpha ^{2}-\alpha -1=0$，$\therefore \alpha ^{2}=1+\alpha$。
$\therefore \alpha ^{6}=(\alpha ^{2})^{3}=(1+\alpha )^{3}=1+3\alpha +3\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=1+3\alpha +3(1+\alpha )+\alpha (1+\alpha )=1+3\alpha +3+3\alpha +\alpha +\alpha ^{2}=1+3\alpha +3+3\alpha +\alpha +1+\alpha =8\alpha +5$，$\therefore \alpha ^{6}+8\beta =8\alpha +5+8\beta =8(\alpha +\beta )+5=8×1+5=13$。
(3)$\because \alpha +\beta =1$，$\alpha \beta =-1$，$\therefore \alpha ^{2}+\beta ^{2}=(\alpha +\beta )^{2}-2\alpha \beta =1-2×(-1)=3$，$\alpha ^{2}\beta ^{2}=(\alpha \beta )^{2}=1$，
$\therefore$二次项系数为1，两根分别为$\alpha ^{2}$，$\beta ^{2}$的关于$y$的一元二次方程是$y^{2}-3y+1=0$。