《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. (2024·河北中考)淇淇在计算正数a的平方时,误算成a与2的积,求得的答案比正确答案小1,则$a= $(C).
A. 1
B. $\sqrt{2}-1$
C. $\sqrt{2}+1$
D. 1或$\sqrt{2}+1$

答案： C [解析]根据题意,得$a^{2}-2a=1$,解得$a=1\pm \sqrt {2}$.
$\because a＞0,\therefore a=\sqrt {2}+1$. 故选 C.

2. (教材P21习题T2·变式)已知两个数的差等于2,积等于15,则这两个数中较大的是5或-3.

答案： 5或-3

3. 某商品进价为每件30元,有一段时间若以x元卖出,则可卖$(100-x)$件,商场计划要赚1200元,同时又让顾客得到实惠,则该商品的售价x为60元.

答案： 60

4. (2025·山东滨州滨城区期中)某商店以每件70元的价格购进若干件衬衫,第一个月按单价100元销售,售出200件,第二个月为增加销售量,且让利于顾客,决定降价处理,经市场调查,单价每降低2元时,月销售量可增加40件,如何定价,才能使以后每个月的利润达到7820元?
解:设…,根据题意,得
$(100-70-x)(200+\frac{x}{2}×40)= 7820$,
…
根据上面所列方程,完成下列任务:
(1)数学问题中横线处缺少的条件是单价每降低2元时,月销售量可增加40件;
(2)所列方程中未知数x的实际意义是单价降低了x元;
(3)请写出解决上面的数学问题的完整解题过程.

答案：
(1)单价每降低2元时,月销售量可增加40件
(2)单价降低了x元
(3)设单价降低了x元,
根据题意,得$(100-70-x)(200+\frac {x}{2}×40)=7280$,
整理得$x^{2}-20x+64=0$,解得$x_{1}=4$(舍去),$x_{2}=16$,
$\therefore 100-x=100-16=84$. 故定价为每件84元时,才能使以后每个月的利润达到7280元.

5. 某电商销售一款服装,进价为40元/件,售价为110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用5元.为尽快回笼资金并让利于顾客,该电商计划开展降价促销活动.通过市场调研发现,该时装售价每降价1元,每天销量增加4件.若该电商每天扣除平台推广费之后的利润要达到4500元,则适合的售价应定为(70元).
A. 70元
B. 80元
C. 70元或90元
D. 90元

答案： A [解析]设降价x元后利润达到4500元,由题意,得$(110-40-5-x)(20+4x)=4500$,解得$x_{1}=20,x_{2}=40$.
∵为尽快回笼资金并让利于顾客,
∴故应舍去$x_{1}=20$,则读懂题目的隐含条件
每件售价定为70元能使该电商每天扣除平台推广费之后的利润达到4500元. 故选 A.

6. 新情境 日历表 如图是某月日历表的一部分,在此日历表上可以用一个矩形圈出$3×3$个位置相邻的数(如12,13,14,19,20,21,26,27,28).若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为161,则这9个数中最小数为(C).

A. 18
B. 13
C. 7
D. 3

答案： C [解析]设最小数为x,则另外八个数分别为$(x+1)$,$(x+2),(x+7),(x+8),(x+9),(x+14),(x+15)$,$(x+16)$,依题意,得$x(x+16)=161$,解得$x_{1}=7,x_{2}=$-23(不合题意,舍去). 故选 C.

7. 跨学科 古诗词理解 在苏轼笔下,周瑜年少有为,文采风流,雄姿英发,谈笑间,樯橹灰飞烟灭,然天妒英才,英年早逝,欣赏下面改编的诗歌:“大江东去浪淘尽,千古风流数人物.而立之年督东吴,早逝英年两位数.十位恰小个位三,个位平方与寿符.”则这位风流人物去世的年龄为36岁.

答案： 36 [解析]设这位风流人物去世的年龄十位数字为x,则个位数字为$x+3$.
根据题意,得$10x+(x+3)=(x+3)^{2}$,
整理,得$x^{2}-5x+6=0$,解得$x_{1}=2,x_{2}=3$,
由题意,而立之年督东吴,则$x=2$舍去,
∴这位风流人物去世的年龄为36岁.

8. (重庆南岸区自主招生)北京冬奥会期间,某商店购进600个纪念品,每个纪念品的进价为6元,第一周以每个10元的价格售出200个.第二周商店为了适当增加销售量,决定降价销售.根据市场调查,单价每降低1元,可多售出50个(售价不得低于进价).第三周商店把每个纪念品的售价再在第二周售价的基础上降低20%,剩余纪念品全部售完.(注:销售利润= 销售量×(售价一进价))
(1)若第二周每个纪念品降价m元,用含m的代数式表示这批纪念品第二周的销售利润;
(2)若前两周商店销售这批纪念品的利润为1400元,求第二周每个纪念品的售价;
(3)若这批纪念品共获得销售利润1730元,求这批纪念品第三周的销售数量.

答案：
(1)依题意,得第二周每个纪念品的销售利润为$(10-m-6)=(4-m)$元,销售量为$(200+50m)$个,
∴这批纪念品第二周的销售利润为$(4-m)(200+50m)=$$(-50m^{2}+800)$元.
(2)设第二周每个纪念品降价m元. 依题意,得$(10-6)×$$200+(4-m)(200+50m)=1400$,整理,得$m^{2}-4=0$,
解得$m_{1}=2,m_{2}=-2$(不符合题意,舍去),
$\therefore 10-m=10-2=8$.
故第二周每个纪念品的售价为8元.
(3)设第二周每个纪念品降价m元. 依题意,得$(10-6)×$$200+(4-m)(200+50m)+[(10-m)×(1-20\% )-$
6]$[600-200-(200+50m)]=1730$,整理,得$m^{2}+$$26m-27=0$,解得$m_{1}=1,m_{2}=-27$(不符合题意,舍去).前提条件：$10-m≥6$,即$m≤4$
$\therefore 600-200-(200+50m)=600-200-(200+50×1)=$150. 故这批纪念品第三周的销售数量为150个.