《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

【例】[全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛]如图,正方形 ABCD 的边长为 1,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,点 P 是边 AB 上的一个动点(点 P 不与点 A,B 重合),CP 与 BD 相交于点 Q.
(1)若 CP 平分$∠ACB$,求证:$AP= 2QO.$
(2)先按下列要求画出相应图形,然后求解问题.
①把线段 PC 绕点 P 旋转$90^{\circ }$,使点 C 落在点 E 处,并连接 AE.设线段 BP 的长度为 x,$△APE$的面积为 S.试求 S 与 x 的函数关系式;
②求出 S 的最大值,判断此时点 P 所在的位置.

(1)证明：如图,过点 O 作$OM// AB$交 PC 于点 M,则$∠COM=∠CAB$.
∵四边形 ABCD 是正方形,
$\therefore OA=OC,∠CAB=∠CBD=∠COM=45^{\circ }.$
$\therefore AP=2OM.$
∵CP 平分$∠ACB,$
$\therefore ∠1=∠2.$
$\therefore ∠1+∠COM=∠2+∠CBD,$
即$∠OMQ=∠OQM.$
$\therefore OM=OQ.$
$\therefore AP=2QO.$
(2)①$△APE$的面积 S 与 x 的函数关系式为$S=-\frac {1}{2}x^{2}+\frac {1}{2}x(0＜x＜1)$；
②S 的最大值为$\frac {1}{8}$，此时点 P 所在的位置是边 AB 的中点处.

答案： 解析:
(1)过点 O 作$OM// AB$交 PC 于点 M,则$∠COM=∠CAB$,证明$∠OMQ=∠OQM$,即可得出结论;
(2)①分类讨论求出 AP,可得$△APE$的面积 S 与 x 的函数关系式;②利用配方法可求函数的最值.
答案:
(1)如图,过点 O 作$OM// AB$交 PC 于点 M,则$∠COM=∠CAB.$
∵四边形 ABCD 是正方形,
$\therefore OA=OC,∠CAB=∠CBD=∠COM=45^{\circ }.$
$\therefore AP=2OM.$
∵CP 平分$∠ACB,$
$\therefore ∠1=∠2.$
$\therefore ∠1+∠COM=∠2+∠CBD,$
即$∠OMQ=∠OQM.$
$\therefore OM=OQ.$
$\therefore AP=2QO.$
(2)根据题意作出图形,如图所示.
①当 PC 绕点 P 逆时针旋转$90^{\circ }$时,过点 E 作$EF⊥AB$交 BA 的延长线于点 F,则$∠EFP=∠PBC=90^{\circ },∠3+∠CPB=90^{\circ }.$
又$∠2+∠CPB=90^{\circ },$
$\therefore ∠3=∠2.$
又 PE 由 PC 绕点 P 旋转$90^{\circ }$形成,
$\therefore PE=PC.$
在$△EPF$和$△PCB$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠3=∠2,\\ ∠EFP=∠PBC,\\ PE=CP,\end{array}\right. $
$\therefore △EPF\cong △PCB(AAS).$
$\therefore EF=BP=x.$
又$AP=1-x,$
$\therefore S_{△APE}=\frac {1}{2}AP\cdot EF=\frac {1}{2}(1-x)x$
$=-\frac {1}{2}x^{2}+\frac {1}{2}x,$
$\therefore △APE$的面积 S 与 x 的函数关系式为$S=-\frac {1}{2}x^{2}+\frac {1}{2}x(0＜x＜1);$
当 PC 绕点 P 顺时针旋转$90^{\circ }$时,过点$E'$作$E'G⊥AB$交 AB 的延长线于点 G,
同理可得$△E'PG\cong △PCB,$
$\therefore E'G=BP=x.$
$\therefore S_{△APE'}=\frac {1}{2}AP\cdot E'G=\frac {1}{2}(1-x)x$
$=-\frac {1}{2}x^{2}+\frac {1}{2}x.$
$\therefore △APE'$的面积 S 与 x 的函数关系式为$S=-\frac {1}{2}x^{2}+\frac {1}{2}x(0＜x＜1).$
综上所述，$△APE$的面积 S 与 x 的函数关系式为$S=-\frac {1}{2}x^{2}+\frac {1}{2}x(0＜x＜1).$
②由①知,$S=-\frac {1}{2}x^{2}+\frac {1}{2}x(0＜x＜1),$
即$S=-\frac {1}{2}(x-\frac {1}{2})^{2}+\frac {1}{8}(0＜x＜1),$
$\therefore$当$x=\frac {1}{2}$时,S 的值最大,最大值为$\frac {1}{8}$,此时点 P 所在的位置是边 AB 的中点处.