《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

8. 跨学科 圆底烧瓶 (2025·山东济南钢城区期中)如图,一个底部呈球形的烧瓶,瓶内液体的最大深度$CD= 2cm$,截面圆中弦AB长为10 cm,那么球的半径OB长为______$\frac{29}{4}$cm.

答案： $\frac{29}{4}$cm　[解析]根据题意，得AB⊥OD,
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=5cm.
∵OB=OD,
∴OC=(OB - 2)cm.
在Rt△BOC中,OB²=OC²+BC²,
∴OB²=(OB - 2)²+5²,解得OB=$\frac{29}{4}$cm.

9. 传统文化 《九章算术》 (2023·东营中考)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材,埋在壁中,不知大小. 以锯锯之,深一寸,锯道长一尺. 问：径几何?”转化为现在的数学语言表达就是：如图,CD为$\odot O$的直径,弦$AB⊥CD$,垂足为E,$CE= 1$寸,$AB= 10$寸,则直径CD的长度为26寸.

答案： 26

10. 如图,CD为$\odot O$的直径,$CD⊥AB$,垂足为F,$AO⊥BC$,垂足为E,连接AC.
(1)求$∠B$的度数；60°
(2)若$CE= \sqrt{3}$,求$\odot O$的半径.2

答案：
(1)
∵AE⊥BC,AE过圆心O,
∴CE=BE,∠AEC=∠AEB=90°.
在△AEC和△AEB中,$\begin{cases}AE = AE,\\∠AEC = ∠AEB,\\CE = BE,\end{cases}$
∴△AEC≌△AEB(SAS),
∴AC=AB.
同理,AC=BC,
∴AB=AC=BC,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°.
(2)
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°.
∵CD⊥AB,AC=BC,
∴∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°,
∴OC=2OE.
∵CE=$\sqrt{3}$,OC²=OE²+CE²,
∴(2OE)²=OE²+($\sqrt{3}$)²,解得OE=1(负值舍去)，
∴OC=2OE=2,即⊙O的半径为2.

11. 新情境 构建圆弧形拱桥模型 如图,有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度AB为16 m,拱高($\overset{\frown}{AB}$的中点C到弦AB的距离)CD为4 m.
(1)求圆弧形拱桥所在圆的半径.
(2)有一艘宽为10 m的货船,船舱顶部为长方形,并高出水面2 m,则此货船是否能顺利通过该圆弧形拱桥？并说明理由.

答案：

(1)如图，记$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为O,连接OB,OD.由题意,得C,D,O三点共线,且OC⊥AB,DA=DB.
∵AB=16m,
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=8m.
设OB=OC=r m,
则OD=(r - 4)m.
在Rt△BOD中,
根据勾股定理,得
r²=(r - 4)²+8²,
解得r=10.
∴圆弧形拱桥所在圆的半径为10m.
(2)此货船能顺利通过该圆弧形拱桥.理由如下:
如图,在CD上取点E,使DE=2m,过点E作AB的平行线,分别交$\overset{\frown}{AB}$于点M,N,连接ON.
∵CD=4m,DE=2m,
∴CE=4 - 2=2(m).
∴OE=r - CE=10 - 2=8(m).
在Rt△OEN中,EN²=ON² - OE²=10² - 8²=36,
∴EN=6m.
∴MN=2EN=12m＞10m.
∴此货船能顺利通过该圆弧形拱桥.

12. 如图,在半径为6的扇形AOB中,$∠AOB= 120^{\circ}$,C是$\overset{\frown}{AB}$上的一个动点(不与A,B重合),$OD⊥AC$,$OE⊥BC$,垂足分别为D,E.
(1)求DE的长；
(2)求四边形ODCE各内角的度数.

答案：

(1)如图,连接OC,AB,过点O作OJ⊥AB于点J.
∵OA=OB=6,OJ⊥AB,∠AOB=120°,
∴∠OAB=∠OBA=30°,AJ=JB,
∴OJ=$\frac{1}{2}$OA=3.
∴AJ=$\sqrt{OA^{2}-OJ^{2}}$=3$\sqrt{3}$,
∴AB=2AJ=2×3$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$.
∵OD⊥AC,OE⊥BC,
∴AD=DC,CE=EB,
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{3}$.
(2)
∵OA=OC=OB,OD⊥AC,OE⊥BC,
∴∠AOD=∠COD,∠BOE=∠COE,
∴∠EOD=$\frac{1}{2}$∠AOC + $\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$(∠AOC + ∠BOC)=60°.
∵∠ODC=∠OEC=90°,
∴∠DCE=360° - 90° - 90° - 60°=120°.

13. (2024·通辽中考)如图,圆形拱门最下端AB在地面上,D为AB的中点,C为拱门最高点,线段CD经过拱门所在圆的圆心,若$AB= 1m$,$CD= 2.5m$,则拱门所在圆的半径为( ).

A. 1.25 m
B. 1.3 m
C. 1.4 m
D. 1.45 m

答案：
B　[解析]如图,连接OA.
∵D为AB的中点,C为拱门最高点,线段CD经过拱门所在圆的圆心,AB=1m,
∴CD⊥AB,AD=BD=0.5m,设拱门所在圆的半径为r m,
∴OA=OC=r m.
∵CD=2.5m,
∴OD=(2.5 - r)m,
∴r²=0.5²+(2.5 - r)²,解得r=1.3,
∴拱门所在圆的半径为1.3m.故选B.