《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. 教材P39练习·变式(2025·安徽亳州期中)已知抛物线$y = x^{2}-4x + 3$,下列结论错误的是(D).
A. 抛物线开口向上
B. 抛物线的对称轴为直线$x = 2$
C. 抛物线的顶点坐标为$(2,-1)$
D. 当$x\lt2$时,$y随x$的增大而增大

答案： D [解析]抛物线a = 1＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；由解析式，得对称轴为直线x = 2，因此B选项正确，不符合题意；由解析式，得当x = 2时，y取最小值，最小值为 - 1，所以抛物线的顶点坐标为(2, - 1)，因此C选项正确，不符合题意；因为抛物线开口向上，对称轴为直线x = 2，因此当x＜2时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意. 故选D.

2. (2024·南通中考)将抛物线$y = x^{2}+2x - 1$向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为(2, - 2).
A. $(-4,-1)$
B. $(-4,2)$
C. $(2,1)$
D. $(2,-2)$

答案： D [解析]因为y = x²+2x - 1=(x + 1)² - 2，所以抛物线y = x²+2x - 1的顶点坐标为( - 1, - 2)，所以将此抛物线向右平移3个单位长度后，所得新抛物线的顶点坐标为(2, - 2). 故选D.

3. (2025·安徽亳州期中)将抛物线$y = x^{2}+2x - 2$向右平移4个单位长度,再向上平移4个单位长度,所得抛物线的函数解析式是____y=(x - 3)²+1.

答案： y=(x - 3)²+1 [解析]
∵y = x²+2x - 2=(x + 1)² - 3，
∴抛物线向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得抛物线的函数表达式是y=(x - 3)²+1.

4. 已知关于$x的二次函数y = ax^{2}-2ax + 1(a\lt0)$,当$x\gt m$时,$y随x$的增大而减小,则$m$的取值范围是____m≥1.

答案： m≥1 [解析]抛物线y = ax² - 2ax + 1 = a(x - 1)²+1 - a，对称轴为直线x = 1，开口向下，x＞1时，y随x的增大而减小.
∵x＞m时，y随x的增大而减小，
∴m≥1.

5. (2025·浙江杭州期中)已知点$A(x_{1},n)$,$B(x_{2},n)是抛物线y = x^{2}+bx + 4$上不同的两点,若点$(x_{1}+x_{2},m)$也在抛物线上,则$m$的值为____4____.

答案： 4 [解析]
∵A(x₁,n)，B(x₂,n)是抛物线y = x²+bx + 4上不同的两点，
∴A(x₁,n)和B(x₂,n)关于抛物线y = x²+bx + 4的对称轴对称，
∴ - $\frac{b}{2}$=$\frac{x₁ + x₂}{2}$，
∴x₁ + x₂ = - b.
∵点(x₁ + x₂,m)，即( - b,m)在抛物线上，
∴m = b²+b·( - b)+4 = 4.

6. 已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c的图象经过点(1,2)$,顶点坐标为$(-1,-2)$.
(1)求这个函数的解析式；
(2)试判断点$(3,14)$是否在此函数图象上.

答案：
(1)由题意，得对称轴为直线x = - $\frac{b}{2a}$ = - 1. 将点( - 1, - 2)代入函数，得y = a - b + c = - 2，将点(1,2)代入函数，得a + b + c = 2，解得a = 1，b = 2，c = - 1.
∴这个函数的解析式为y = x²+2x - 1.
(2)当x = 3时，y = 3²+2×3 - 1 = 14.
∴(3,14)在此函数图象上.

7. (2025·北京十二中联合学校总校月考)在同一平面直角坐标系中,直线$y = ax + 1与二次函数y = ax^{2}+bx + 1$的图象可能是(C).

答案： C [解析]A. 根据一次函数图象可知a＜0，与y轴的交点不是(0,1)，故A选项错误，不符合题意；B. 根据二次函数的图象可知a＜0，同时与y轴的交点是(0,1)，但是根据一次函数的图象可知a＞0，故B选项错误，不符合题意；C. 根据图象可知两个函数图象与y轴的交点坐标为(0,1)，同时也得到a＞0，故C选项正确，符合题意；D. 根据一次函数图象可知a＜0，根据二次函数的图象可知a＞0，故D选项错误，不符合题意. 故选C.
方法技巧　假设其中一个图象正确，然后根据图象得到系数的取值范围，然后根据系数的取值范围确定另一个图象的位置，看是否和题图中图象相符即可求解.

8. (2024·乐山中考)已知二次函数$y = x^{2}-2x(-1\leqslant x\leqslant t - 1)$,当$x = -1$时,函数取得最大值；当$x = 1$时,函数取得最小值,则$t$的取值范围是(C).
A. $0\lt t\leqslant2$
B. $0\lt t\leqslant4$
C. $2\leqslant t\leqslant4$
D. $t\geqslant2$

答案： C [解析]因为y = x² - 2x=(x - 1)² - 1，所以抛物线的对称轴为直线x = 1，且顶点坐标为(1, - 1). 因为1 - ( - 1)=3 - 1，所以x = - 1和x = 3时的函数值相等. 因为 - 1≤x≤t - 1，当x = - 1时，函数取得最大值，所以t - 1≤3. 因为当x = 1时，函数取得最小值，所以t - 1≥1，所以1≤t - 1≤3，解得2≤t≤4. 故选C.

9. 实验班原创 已知二次函数$y = mx^{2}-2mx + 3$的图象经过两个定点,则这两个定点的坐标为(0,3)，(2,3).

答案： (0,3)，(2,3) [解析]
∵y = mx² - 2mx + 3，
∴(x² - 2x)m = y - 3.
∵m是不等于0的任意数，
∴x² - 2x = 0，y - 3 = 0，解得x = 0，y = 3或x = 2，y = 3.
∴抛物线经过定点(0,3)，(2,3).

10. 已知二次函数$y = ax^{2}-bx + 2(a\neq0)$图象的顶点在第二象限,且过点$(1,0)$,若$a + b$的值为非零整数,则$b$的值为____$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$.

答案： $\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$ [解析]依题意知a＜0， - $\frac{ - b}{2a}$＜0即$\frac{b}{2a}$＜0，a - b + 2 = 0，
∴b＞0，且b = a + 2，a + b = a + a + 2 = 2a + 2.
∴a + 2＞0，
∴ - 2＜a＜0，
∴ - 2＜2a + 2＜2.
∵a + b的值为非零整数，
∴a + b的值为 - 1，1，
∴2a + 2 = - 1或2a + 2 = 1，
∴a = - $\frac{3}{2}$或a = - $\frac{1}{2}$.
∵b = a + 2，
∴b = $\frac{1}{2}$或b = $\frac{3}{2}$.

11. (2024·上海普陀区期末)如图,抛物线$y = -x^{2}+4x的顶点为P$,$M$为对称轴上一点,如果$PM = OM$,那么点$M$的坐标是____.

答案：
(2,$\frac{3}{2}$) [解析]如图，由题意，设OM = PM = x.
∵抛物线y = - x²+4x= - (x - 2)²+4，
∴P(2,4).
∴OG = 2，PG = 4.
∴MG = PG - PM = 4 - x.
∵在Rt△MGO中，OG²+MG² = OM²，
∴2²+(4 - x)² = x².
∴x = $\frac{5}{2}$.
∴MG = $\frac{3}{2}$.
∴M(2,$\frac{3}{2}$).