《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

11. 二次函数$y = a(x - 1)^2 + k$的部分图象如图所示抛物线,则$a + k = $3.

答案： 3　[解析]由图象，知抛物线经过点(0,3),
∴3=a(0−1)²+k,
∴a+k=3.

12. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(0,2)$,点B的坐标为$(4,2)$.若抛物线$y = -\frac{3}{2}(x - h)^2 + k$($h,k$为常数)与线段AB交于C,D两点,且$CD = \frac{1}{2}AB$,则$k$的值为____$\frac{7}{2}$.

答案： $\frac{7}{2}$　[解析]
∵点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(4,2),
∴AB=4.
∵抛物线y=−$\frac{3}{2}$(x−h)²+k(h,k为常数)与线段AB 交于C,D两点，且CD=$\frac{1}{2}$AB=2,
∴设点C的坐标为(c,2),则点D的坐标为(c+2,2),h=$\frac{2c+2}{2}$=c+1,
∴2=−$\frac{3}{2}$[c−(c+1)]²+k,解得k=$\frac{7}{2}$.

13. (2025·安徽淮南期中)如图,抛物线$y = a(x - 2)^2 + 3$($a为常数且a \neq 0$)与$y轴交于点A(0,\frac{5}{3})$.
(1)求该抛物线的解析式; $y=-\frac{1}{3}(x - 2)^2 + 3$
(2)若直线$y = kx + \frac{2}{3}(k \neq 0)$与抛物线有两个交点,交点的横坐标分别为$x_1,x_2$,当$x_1^2 + x_2^2 = 10$时,求$k$的值. 2或$\frac{2}{3}$

答案：
(1)
∵抛物线y=a(x−2)²+3(a为常数且a≠0)与y轴交于点A(0,$\frac{5}{3}$),
∴4a+3=$\frac{5}{3}$,
∴a=−$\frac{1}{3}$,
∴该抛物线的解析式为y=−$\frac{1}{3}$(x−2)²+3.
(2)
∵直线y=kx+$\frac{2}{3}$(k≠0)与抛物线有两个交点,
∴$\begin{cases}y = kx + \frac{2}{3}, \\ y = -\frac{1}{3}(x - 2)^2 + 3\end{cases}$,整理,得x²+(3k−4)x−3=0,
∴x1+x2=4−3k,x1·x2=−3,
∴x1²+x2²=(x1+x2)²−2x1x2=(4−3k)²+6=10,解得k=$\frac{2}{3}$或k=2,
∴k的值为2或$\frac{2}{3}$.

14. 分类讨论思想(2025·浙江金华期中)已知点$P(m,n)在抛物线y = a(x - 1)^2 + 3$($a$为常数,$a \neq 0$)上.
(1)若$m = 2,n = 4$,
①求抛物线的解析式;$y=(x−1)²+3$
②若点$A(t - 1,y_1),B(t,y_2)$在该二次函数的图象上,且点A在对称轴左侧,点B在对称轴右侧,若$y_1 ＜ y_2$,求$t$的取值范围;$\frac{3}{2}＜t＜2$
(2)若$-1 \leq m \leq 0$时,总有$n \geq -2$,且当$3 \leq m ＜ 4时总有n \leq -2$,求$a$的值.$-\frac{5}{4}$

答案：
(1)①将点P(2,4)代入y=a(x−1)²+3,得a+3=4,解得a=1,
∴抛物线的解析式为y=(x−1)²+3.②抛物线y=(x−1)²+3的对称轴为直线x=1,根据题意,得$\begin{cases}t - 1 ＜ 1, \\ t ＞ 1, \\ 1 - (t - 1) ＜ t - 1\end{cases}$,解得$\frac{3}{2}$＜t＜2.
(2)当a＞0时,y≥3,与题意不符,
∴a＜0,
∴抛物线y=a(x−1)²+3开口向下,对称轴为直线x=1,
∴当x≤1时,y随x的增大而增大,当x≥1时,y随x的增大而减小,
∴当m=−1时,n=−2.将P(−1,−2)代入y=a(x−1)²+3,得−2=4a+3,解得a=−$\frac{5}{4}$.

15. 已知函数$y = \begin{cases}-(x - 1)^2 + 2(x \geq 0),\\-(x + 1)^2 + 2(x ＜ 0),\end{cases}$将该函数的图象记为图象W.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象W;
(2)当$y = 1$时,$x = $____;
(3)若直线$y = k$与图象W有2个公共点,求$k$的取值范围;
(4)若直线$y = k$与图象W有4个公共点,求$k$的取值范围.

答案：

(1)对于函数y=$\begin{cases}-(x - 1)^2 + 2(x \geq 0), \\ -(x + 1)^2 + 2(x ＜ 0)\end{cases}$,当x=0时,y=−(0−1)²+2=1;当x=1时,y=−(1−1)²+2=2;当x=−1时,y=−(−1+1)²+2=2;当x=3时,y=−(3−1)²+2=−2;当x=−3时,y=−(−3+1)²+2=−2.如图，在平面直角坐标系中画出该函数的图象W.

(2)0或2或−2　[解析]将y=1代入y=−(x−1)²+2(x≥0),得1=−(x−1)²+2(x≥0),解得x1=0,x2=2;将y=1代入y=−(x+1)²+2(x＜0),得1=−(x+1)²+2(x＜0),解得x1=−2,x2=0(舍去).综上所述，当y=1时,x=0或2或−2.
(3)由图,知当直线y=k与直线y=2重合时,直线y=k与图象W有2个公共点,此时k=2;当直线y=k在直线y=1下方时,直线y=k与图象W也有2个公共点,此时k＜1.综上所述，k的取值范围为k=2或k＜1.
(4)由图,知当直线y=k在直线y=2与直线y=1之间时,直线y=k与图象W有4个公共点,此时1＜k＜2,
∴k的取值范围为1＜k＜2.