《2025年启航新课堂八年级数学上册北师大版》

实数
- 分类
按概念分
有理数
无理数：无限不循环小数
按正数、0、负数分
- 与数轴上的点一一对应
- 实数的大小比较与运算
平方根
- 概念：如果一个数的平方等于$a$,那么这个数叫作$a$的平方根,记作：$\pm \sqrt {a}(a≥0)$
- 性质
一个正数有两个平方根,它们互为相反数
0的平方根是0
负数没有平方根
- 算术平方根：正数$a的正的平方根叫作a$的算术平方根,0的算术平方根是0
- 开平方与平方是互逆运算
立方根
- 概念：如果$x^{3}= a$,那么$x叫作a$的立方根,记作：$\sqrt [3]{a}$
- 性质
正数有一个正的立方根
0的立方根是0
负数有一个负的立方根
二次根式
- 定义：形如$\sqrt {a}(a≥0)$的式子叫作二次根式
- 性质
$\sqrt {a}≥0(a≥0)$,$(\sqrt {a})^{2}= $a$(a≥0)$
$\sqrt {a^{2}}= |a|= \left\{\begin{array}{l} a(a≥0)\\ -a(a＜0)\end{array} \right.$
- 运算
二次根式的乘除
计算
$\sqrt {a}\cdot \sqrt {b}= $$\sqrt{ab}$$(a≥0,b≥0)$
公式
$\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}= $$\sqrt{\frac{a}{b}}$$(a≥0,b＞0)$
公式的逆用
$\sqrt {ab}= $$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$$(a≥0,b≥0)$
$\sqrt {\frac {a}{b}}= $$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$(a≥0,b＞0)$
二次根式的加减
概念
最简二次根式
同类二次根式
合并同类二次根式的原则

答案： 1. 平方根：
如果一个数的平方等于$a$，那么这个数叫作$a$的平方根。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
$0$的平方根是$0$。
正数$a$的正的平方根叫作$a$的算术平方根。
2. 二次根式性质：
$(\sqrt{a})^{2}=a(a\geq0)$。
3. 二次根式乘除：
$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geq0,b\geq0)$。
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geq0,b\gt0)$。
$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$。
$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\geq0,b\gt0)$。
故答案依次为：平方根；相反数；$0$；算术平方根；$a$；$\sqrt{ab}$；$\sqrt{\frac{a}{b}}$；$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$；$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。

例1 下列各数：$-\frac {1}{4},\sqrt {7},3.14159,-\frac {π}{2},-\sqrt [3]{4},0,0.5,\sqrt [3]{8},\sqrt {16},2.121122111222...$其中有理数有6个,无理数有4个。

答案： 6,4

例2 (1)下列说法正确的是(B)
A. -2是-4的平方根
B. 2是$(-2)^{2}$的算术平方根
C. $(-2)^{2}$的平方根是2
D. 8的立方根是$\pm 2$

答案：
(1)B;

(2)$\sqrt {625}$的算术平方根是5,$\sqrt [3]{729}$的平方根是±3,$-\sqrt {64}$的立方根是-2；

答案：
(2)5,±3,-2;

(3)已知一个正数的两个平方根分别是$2a - 2$和$a - 4$,则$a$的值是______2。

答案：
(3)2

例3 (1)估计$\sqrt {3}(\sqrt {12}+\sqrt {6})$的值在(D)
A. 7和8之间
B. 8和9之间
C. 9和10之间
D. 10和11之间

答案：
(1)D;

(2)比较大小：$4\sqrt {5}$＞$6\sqrt {2}$；(选填“＞”“＜”或“=”)

答案：
(2)＞;

(3)$\sqrt {10}$的整数部分是3,$\sqrt {17}-2$的小数部分是$\sqrt{17}-4$。

答案：
(3)3,$\sqrt{17}-4$