《2025年启航新课堂八年级数学上册北师大版》

10. 如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫作格点,$A$,$B$,$C$是小正方形的顶点,则$\angle ABC$的度数为$45^{\circ}$.

答案： $45^{\circ}$

11. 我国最早对勾股定理进行证明的是数学家赵爽,他用4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成了一个大正方形,如图,连接$BF$.若$S_{\triangle ABF}= 12.5$,$AB-EF= 6$,则$S_{正方形ABCD}= $169.

答案： 169

12. 如图,$\triangle ABC$是边长3cm的等边三角形,动点$P$,$Q同时从A$,$B$两点出发,分别沿$AB$,$BC$方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点$P到达点B$时,$P$,$Q$两点停止,则当$t= $1 或 2s时,$\triangle PBQ$是直角三角形.

答案： 1 或 2

13. 对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形$ABCD$,对角线$AC$,$BD交于点O$.若$AD= 2$,$BC= 4$,则$AB^{2}+CD^{2}= $20.

答案： 20

14. 如图,实验中学位于一条南北向公路$l的一侧A$处,门前有两条长度均为100m的小路$AB$,$AC通往公路l$,与公路$l交于B$,$C$两点,且$B$,$C$两点相距120m.
(1)为了方便学生出入,现在打算修一条从实验中学到公路$l的新路AD$(点$D在l$上),使得学生从学校走到公路的路程最短,应该如何修路(请在图中画出$AD$)？并计算新路$AD$的长度；80米
(2)为了保证学生的安全,在公路$l上的点E和点C$处设置了一组区间测速装置,点$E在点B$的正北方向,且距实验中学$A$处170m.一辆汽车经过$EC$区间共用时21s.若此段公路限速为40km/h(约11.1m/s),请判断该车是否超速,并说明理由.没有超速

答案： 1. （1）
解：根据垂线段最短，过点$A$作$AD\perp l$于点$D$，$AD$即为所求的新路。
因为$AB = AC=100m$，$AD\perp BC$，$BC = 120m$，所以$BD=\frac{1}{2}BC = 60m$（等腰三角形三线合一）。
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$c = AB$，$a = BD$，$b = AD$），则$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}$。
把$AB = 100m$，$BD = 60m$代入可得：$AD=\sqrt{100^{2}-60^{2}}=\sqrt{(100 + 60)(100 - 60)}=\sqrt{160×40}=\sqrt{6400}=80m$。
2. （2）
解：在$Rt\triangle ADE$中，$AD = 80m$，$AE = 170m$，根据勾股定理$DE=\sqrt{AE^{2}-AD^{2}}$。
把$AE = 170m$，$AD = 80m$代入可得：$DE=\sqrt{170^{2}-80^{2}}=\sqrt{(170 + 80)(170 - 80)}=\sqrt{250×90}=\sqrt{22500}=150m$。
因为$DC=BD = 60m$，所以$EC=DE + DC=150 + 60=210m$。
汽车的速度$v=\frac{s}{t}$，$s = 210m$，$t = 21s$，则$v=\frac{210}{21}=10m/s$。
因为$10m/s\lt11.1m/s$，所以该车没有超速。
综上，（1）过$A$作$AD\perp l$于$D$，$AD$长$80m$；（2）该车没有超速。