《2025年启航新课堂八年级数学上册北师大版》

例4 (2025锦江区期末)2025年春节即将来临,某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉和橙子.已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元;购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元.
(1)请问香蕉和橙子的进价分别是多少?
(2)该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克,已知香蕉的售价为12元/千克,橙子的售价为15元/千克,其中香蕉的进货量不低于350千克,且不高于450千克.在可以全部售出的情况下,请问总利润的最大值是多少?

答案： $(1)$ 求香蕉和橙子的进价
设香蕉的进价为$x$元/千克，橙子的进价为$y$元/千克。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = 46 \\x + 2y = 28 \end{cases}$
由$x + 2y = 28$可得$x = 28 - 2y$，将其代入$2x + 3y = 46$中：
$\begin{aligned}2(28 - 2y)+3y&=46\\56 - 4y + 3y&=46\\ - y&=46 - 56\\ - y&=-10\\y&=10\end{aligned}$
把$y = 10$代入$x = 28 - 2y$，得$x = 28 - 2×10 = 8$。
所以香蕉的进价是$8$元/千克，橙子的进价是$10$元/千克。
$(2)$ 求总利润的最大值
设购进香蕉$m$千克，则购进橙子$(1000 - m)$千克，总利润为$W$元。
根据利润公式：$利润=(售价 - 进价)×销售量$，可得：
$W=(12 - 8)m+(15 - 10)(1000 - m)$
$=4m + 5(1000 - m)$
$=4m + 5000 - 5m$
$=5000 - m$
因为$W = 5000 - m$，$k=-1\lt0$，所以$W$随$m$的增大而减小。
又因为$350\leqslant m\leqslant450$，所以当$m = 350$时，$W$有最大值。
$W_{max}=5000 - 350 = 4650$（元）
综上，$(1)$ 香蕉进价$\boldsymbol{8}$元/千克，橙子进价$\boldsymbol{10}$元/千克；$(2)$ 总利润最大值是$\boldsymbol{4650}$元。

例5 如图①,在$A,B两地之间有汽车站C$站,客车由$A地驶往C$站,货车由$B地驶往A$地.两车同时出发,匀速行驶.图②是客车,货车离$C站的路程y_1(km),y_2(km)与行驶时间x(h)$之间的函数关系图象.
(1)$A,B$两地相距______420km;
(2)2h后,货车离$C站的路程y_2与行驶时间x$之间的函数表达式为______$y_{2}=30x-60$;
(3)客、货两车何时相遇?客、货两车经过$\frac {14}{3}h$相遇。

答案： 1. （1）
由图象可知，$A$到$C$的距离是$360km$，$B$到$C$的距离是$60km$。
所以$A$，$B$两地相距$360 + 60=420km$。
2. （2）
设$y_{2}=kx + b$（$k\neq0$），
因为货车$2h$后从$C$站出发，$x = 2$时，$y_{2}=0$；$x = 6$时，$y_{2}=360$。
把$\left\{\begin{array}{l}x = 2\\y_{2}=0\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}x = 6\\y_{2}=360\end{array}\right.$代入$y_{2}=kx + b$得：
$\left\{\begin{array}{l}2k + b=0\\6k + b=360\end{array}\right.$，
用$6k + b-(2k + b)=360 - 0$，
即$6k + b-2k - b=360$，$4k=360$，解得$k = 90$。
把$k = 90$代入$2k + b=0$，得$2×90 + b=0$，$b=-180$。
所以$y_{2}=90x-180(x\geqslant2)$。
3. （3）
设客车离$C$站的路程$y_{1}$与行驶时间$x$的函数表达式为$y_{1}=mx + n$（$m\neq0$），
因为$x = 0$时，$y_{1}=360$；$x = 6$时，$y_{1}=0$。
把$\left\{\begin{array}{l}x = 0\\y_{1}=360\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}x = 6\\y_{1}=0\end{array}\right.$代入$y_{1}=mx + n$得：
$\left\{\begin{array}{l}n = 360\\6m + n=0\end{array}\right.$，把$n = 360$代入$6m + n=0$，得$6m+360 = 0$，$m=-60$。
所以$y_{1}=-60x + 360$。
两车相遇时$y_{1}=y_{2}$，即$-60x + 360=90x-180$。
移项得$-60x-90x=-180 - 360$。
合并同类项得$-150x=-540$。
解得$x=\frac{540}{150}=\frac{18}{5}=3.6$。
故答案依次为：（1）$420$；（2）$y_{2}=90x - 180(x\geqslant2)$；（3）$3.6h$时相遇。

1. 下列方程是二元一次方程的是 (B)
A. $x + 1 = 0$
B. $x + y = 1$
C. $x^2 + x = 0$
D. $x^2 + y^2 = 1$

答案： B

2. 已知$a,b满足方程组\begin{cases}3a + 2b = 4,\\2a + 3b = 6,\end{cases} 则a + b$的值为 (A)
A. 2
B. 4
C. -2
D. -4

答案： A

3. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题,大意是:100匹马恰好拉了100片瓦.已知1匹大马能拉3片瓦,3匹小马能拉1片瓦,问有多少匹大马、多少匹小马?如果设大马有$x$匹,小马有$y$匹,那么可列方程组为 (C)
A. $\begin{cases}x + y = 100,\\3x + 3y = 100\end{cases} $
B. $\begin{cases}x + y = 100,\\x + 3y = 100\end{cases} $
C. $\begin{cases}x + y = 100,\\3x + \dfrac{1}{3}y = 100\end{cases} $
D. $\begin{cases}x + y = 100,\\3x + y = 100\end{cases} $

答案： C