《2025年启航新课堂八年级数学上册北师大版》

15. 如图,在$\triangle ABC$中,$BC= a$,$AC= b$,$AB= c$,且$c\geqslant b\geqslant a$.
(1)当$\triangle ABC$是锐角三角形时,小明猜想：$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$.以下是他的证明过程：
如图①,过点$A作AD\perp CB$,垂足为$D$.设$CD= x$.
在$Rt\triangle ADC$中,$AD^{2}= b^{2}-x^{2}$,
在$Rt\triangle ADB$中,$AD^{2}=$①,
$\therefore b^{2}-x^{2}=$①,
化简,得$a^{2}+b^{2}-c^{2}= 2ax$.
$\because a＞0$,$x＞0$,$\therefore$②$＞0$,
$\therefore a^{2}+b^{2}-c^{2}＞0$,
$\therefore a^{2}+b^{2}＞c^{2}$.
其中,①是$c^{2}-(a-x)^{2}$；②是2ax；
(2)如图②,当$\triangle ABC$是钝角三角形时,猜想$a^{2}+b^{2}与c^{2}$之间的关系并证明.
猜想：$a^{2}+b^{2}＜c^{2}$。证明略。

答案：
(1)$c^{2}-(a-x)^{2}$，2ax；
(2)猜想：$a^{2}+b^{2}＜c^{2}$。证明略。