《2025年启航新课堂八年级数学上册北师大版》

1. 对于正比例函数$y = kx(k\neq0)$：
当$k\gt0$时，直线$y = kx$经过第一、三象限；
当$k\lt0$时，直线$y = kx$经过第二、四象限。
2. 对于一次函数$y=kx + b(k\neq0)$：
当$k\gt0$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$k\lt0$时，$y$随$x$的增大而减小。

答案： 1. 对于正比例函数$y = kx(k\neq0)$：
当$k\gt0$时：
令$x = 1$，则$y=k\gt0$；令$x=-1$，则$y=-k\lt0$。
所以直线$y = kx(k\gt0)$经过第一、三象限。
当$k\lt0$时：
令$x = 1$，则$y = k\lt0$；令$x=-1$，则$y=-k\gt0$。
所以直线$y = kx(k\lt0)$经过第二、四象限。
2. 对于一次函数$y=kx + b(k\neq0)$：
设$x_1\lt x_2$，则$y_1=kx_1 + b$，$y_2=kx_2 + b$。
那么$y_2 - y_1=(kx_2 + b)-(kx_1 + b)=k(x_2 - x_1)$。
当$k\gt0$时：
因为$x_2 - x_1\gt0$，$k\gt0$，所以$y_2 - y_1=k(x_2 - x_1)\gt0$，即$y_2\gt y_1$，所以$y$随$x$的增大而增大。
当$k\lt0$时：
因为$x_2 - x_1\gt0$，$k\lt0$，所以$y_2 - y_1=k(x_2 - x_1)\lt0$，即$y_2\lt y_1$，所以$y$随$x$的增大而减小。
故答案依次为：一、三；二、四；增大；减小。

例1 (1)下列各曲线中,不能表示$y是x$的函数的是 (C)

答案：
(1)C；

(2)函数$y = \sqrt{3 - x} + \frac{1}{x - 4}$中自变量x的取值范围是 (A)
A. $x \leq 3$
B. $x \neq 2$
C. $x \geq 3且x \neq 4$
D. $x \leq 3且x \neq 4$

答案：
(2)A

例2 已知一次函数$y = (m - 3)x + 2 - n$满足下列条件,分别求出$m$,$n$的取值范围.
(1)使得$y随x$的增大而减小；
(2)使得函数图象与$y轴的交点在x$轴上方；
(3)使得函数图象不经过第二象限.

答案：
(1)当$m＜3$，$n$取任意值时，$y$随$x$的增大而减小。
(2)当$n＜2$且$m≠3$时，函数图象与$y$轴的交点在$x$轴上方。
(3)当$m＞3$且$n≥2$时，函数图象不经过第二象限。

例3 如图所示是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔$y$(单位：$m$)关于上升时间$x$(单位：$min$)的函数图象,下列结论：
①当$x = 10$时,两个探测气球位于同一高度；
②当$x ＞ 10$时,乙气球位置比甲高；
③当$0 \leq x ＜ 10$时,甲气球位置比乙高.
其中,正确结论的个数是 (A)
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0

答案： A