《2025年启航新课堂八年级数学上册北师大版》

10. 如图,已知点$A(4,0)$,$B(0,2)$,线段$OA= OC$,且点C在y轴负半轴上,连接AC。
(1)如图①,求直线AB的表达式；
(2)如图①,P是直线CA上一点,若$S_{\triangle ABC}= 3S_{\triangle ABP}$,求满足条件的点P的坐标；
(3)如图②,M为直线$l:x= \frac{5}{2}$上一点,将点M水平向右平移6个单位长度至点N,连接BM,MN,NC。求$BM+MN+NC$的最小值及此时点N的坐标。

答案：

(1)直线AB的表达式为$y=-\frac {1}{2}x+2$。
(2)
∵OA=OC=4,
∴C(0,−4)，
∴直线AC的表达式为$y=x-4$。由题意，得∠OAC=∠ACO=45°,AC=$\sqrt{2}$OC=4√2;
∵$S_{△ABC}=3S_{△ABP}$,
∴AP=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，则点P的纵坐标为$\frac{4}{3}$或$-\frac{4}{3}$。当点P的纵坐标为$\frac{4}{3}$时，得$x-4=\frac{4}{3}$，解得$x=\frac{16}{3}$,
∴$P(\frac{16}{3},\frac{4}{3})$；当点P的纵坐标为$-\frac{4}{3}$时，得$x-4=-\frac{4}{3}$，解得$x=\frac{8}{3}$,
∴$P(\frac{8}{3},-\frac{4}{3})$。综上，满足条件的点P的坐标为$(\frac{16}{3},\frac{4}{3})$或$(\frac{8}{3},-\frac{4}{3})$。
(3)设$M(\frac {5}{2},y)$，则$N(\frac {17}{2},y)$。作出直线$x=11$，在该直线上取$B'(11,2)$，连接$CB'$，如图③，此时$BM=B'N$，此时$BM+MN+NC$的值最小，最小值为$MN+B'C$的值。 由$B'(11,2),C(0,-4)$，得直线$CB'$的表达式为$y=\frac {6}{11}x-4$。将$x=\frac{17}{2}$代入，得$y=\frac {6}{11}×\frac {17}{2}-4=\frac {7}{11}$，
∴$N(\frac{17}{2},\frac{7}{11})$，
∴$MN+B'C=6+\sqrt{11²+[2−(−4)]²}=6+\sqrt{157}$