《2025年启航新课堂八年级数学上册北师大版》

3. 庆庆家附近有一条东西走向的公路(AB),一天一辆宣传车从这条路上经过。如图,从监测中心A处测得这辆宣传车从点B开始沿AB所在直线由东向西运动,已知点C为庆庆家的位置,点C与监测中心A的距离(AC)为400m,与这辆宣传车的起始位置B的距离(BC)为300m,且∠ACB= 90°,过点C作CD⊥AB于点D,以这辆宣传车为圆心,半径为260m的圆形区域内会听到宣传车的声音。
(1) 求监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离；500m
(2) 若这辆宣传车的行驶速度为25m/min,则庆庆家能听到多长时间的宣传车声音？8min

答案： 1. （1）
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 400m$，$BC = 300m$。
根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$。
把$AC = 400$，$BC = 300$代入可得：$AB=\sqrt{400^{2}+300^{2}}=\sqrt{160000 + 90000}=\sqrt{250000}=500m$。
2. （2）
解：根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$。
已知$AC = 400$，$BC = 300$，$AB = 500$，则$\frac{1}{2}×400×300=\frac{1}{2}×500× CD$。
解得$CD=\frac{400×300}{500}=240m$。
设宣传车行驶到$E$，$F$两点时，庆庆家开始听到和听不到声音，此时$CE = CF = 260m$。
在$Rt\triangle CDE$中，根据勾股定理$DE=\sqrt{CE^{2}-CD^{2}}$。
把$CE = 260$，$CD = 240$代入可得：$DE=\sqrt{260^{2}-240^{2}}=\sqrt{(260 + 240)(260 - 240)}=\sqrt{500×20}=\sqrt{10000}=100m$。
同理$DF = 100m$，所以$EF=DE + DF=200m$。
已知宣传车速度$v = 25m/min$，根据$t=\frac{s}{v}$（$s$为路程，$v$为速度）。
则时间$t=\frac{200}{25}=8min$。
综上，（1）$AB$的距离为$500m$；（2）庆庆家能听到$8min$的宣传车声音。

例3 如图,将长方形的一边AD沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处。已知AB= 8,BC= 10,求EC的长。3

答案： 1. 首先，根据长方形的性质和折叠的性质：
因为四边形$ABCD$是长方形，所以$AD = BC = 10$，$AB = CD = 8$，$\angle B=\angle C = 90^{\circ}$。
由折叠可知$AF = AD = 10$，$EF = ED$。
2. 然后，在$Rt\triangle ABF$中，根据勾股定理$BF=\sqrt{AF^{2}-AB^{2}}$：
已知$AF = 10$，$AB = 8$，则$BF=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6$。
所以$FC=BC - BF$，因为$BC = 10$，$BF = 6$，则$FC=10 - 6 = 4$。
3. 接着，设$EC=x$，则$EF=ED = 8 - x$：
在$Rt\triangle EFC$中，根据勾股定理$EF^{2}=EC^{2}+FC^{2}$。
即$(8 - x)^{2}=x^{2}+4^{2}$。
展开$(8 - x)^{2}$：
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = 8$，$b = x$，则$(8 - x)^{2}=64-16x+x^{2}$。
所以$64-16x+x^{2}=x^{2}+16$。
移项：
$64-16x+x^{2}-x^{2}-16 = 0$。
合并同类项得$-16x+48 = 0$。
移项得$16x = 48$。
解得$x = 3$。
所以$EC$的长为$3$。

4. 如图,将长方形ABCD沿对角线BD折叠,使点C落在点C'处,BC'与AD交于点E。若AB= 4cm,AD= 8cm,则DE的长为5cm。

答案： 1. 首先，根据长方形的性质和折叠的性质：
因为四边形$ABCD$是长方形，所以$AD// BC$，$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = CD$。
由折叠可知$\angle CBD=\angle EBD$，又因为$AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle CBD=\angle EDB$。
那么$\angle EBD=\angle EDB$，所以$BE = DE$。
2. 然后，设$DE=x cm$，则$BE = x cm$，$AE=(8 - x)cm$：
在$Rt\triangle ABE$中，根据勾股定理$AB^{2}+AE^{2}=BE^{2}$。
已知$AB = 4cm$，将$AB = 4$，$AE=(8 - x)$，$BE = x$代入勾股定理公式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$a = AB$，$b = AE$，$c = BE$），得到$4^{2}+(8 - x)^{2}=x^{2}$。
3. 接着，展开并求解方程：
展开$4^{2}+(8 - x)^{2}=x^{2}$：
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，$(8 - x)^{2}=64-16x+x^{2}$，则方程变为$16+64-16x+x^{2}=x^{2}$。
移项：$x^{2}-x^{2}+16x=16 + 64$。
合并同类项得$16x=80$。
解得$x = 5$。
所以$DE$的长为$5cm$。

5. 如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC= 30,BC= 40。现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合。求△DEB的面积。150

答案： 1. 首先，根据勾股定理求斜边$AB$的长度：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，由勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$。
已知$AC = 30$，$BC = 40$，则$AB=\sqrt{30^{2}+40^{2}}=\sqrt{900 + 1600}=\sqrt{2500}=50$。
2. 然后，根据折叠的性质：
因为$\triangle ACD$与$\triangle AED$关于$AD$对称，所以$AC = AE=30$，$CD = DE$，$\angle AED=\angle C = 90^{\circ}$。
那么$BE=AB - AE$，$BE = 50−30 = 20$。
设$CD = DE=x$，则$BD = 40 - x$。
3. 接着，在$Rt\triangle BDE$中，根据勾股定理列方程：
在$Rt\triangle BDE$中，由勾股定理$DE^{2}+BE^{2}=BD^{2}$。
即$x^{2}+20^{2}=(40 - x)^{2}$。
展开$(40 - x)^{2}$：根据$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = 40$，$b = x$，则$(40 - x)^{2}=1600-80x+x^{2}$。
所以方程$x^{2}+400=1600-80x+x^{2}$。
移项可得：$x^{2}-x^{2}+80x=1600 - 400$。
合并同类项得$80x = 1200$，解得$x = 15$。
4. 最后，求$\triangle DEB$的面积：
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），在$Rt\triangle BDE$中，$a = BE$，$h = DE$。
$S_{\triangle DEB}=\frac{1}{2}× BE× DE$。
把$BE = 20$，$DE = 15$代入得$S_{\triangle DEB}=\frac{1}{2}×20×15 = 150$。
答：$\triangle DEB$的面积是$150$。