《2025年启航新课堂八年级数学上册北师大版》

11. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y = kx + b的图象经过点A(-2,6)$,且与x轴相交于点B,与正比例函数$y = 3x$的图象相交于点C,点C的横坐标为1.
(1)求k,b的值；$\begin{cases}k = -1,\\b = 4.\end{cases}$
(2)若点D在y轴的负半轴上,且满足$S_{\triangle COD} = 4S_{\triangle BOC}$,求点D的坐标.$(0,-48)$

答案：
(1)$\begin{cases}k = -1,\\b = 4.\end{cases}$
(2)点D的坐标为$(0,-48)$。

12. 如图,在平面直角坐标系中,直线$l_1:y = x + 2$与x轴交于点A,与y轴交于点D,直线$l_2$与x轴交于点$B(1,0)$,与$l_1相交于点C(m,4)$.
(1)求直线$l_2$的表达式；
(2)若M为x轴上一动点,过点$M(t,0)$作x轴的垂线,与直线$l_2$交于点Q. 若$S_{\triangle AQC} = 2S_{\triangle ABC}$,请求出所有符合题意的点Q的坐标.

答案：

(1)在$y = x + 2$中，当$y = 4$时，$x = 2$，$\therefore m = 2$，$\therefore C(2,4)$。设直线$l_2$的表达式为$y = kx + b(k \neq 0)$，把$B(1,0)$，$C(2,4)$代入，得$\begin{cases}k + b = 0,\\2k + b = 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 4,\\b = -4,\end{cases}$$\therefore$直线$l_2$的表达式为$y = 4x - 4$。
(2)过点$M(t,0)$作垂直于x轴的直线，与直线$l_2$交于点Q，连接AQ，$\therefore Q(t,4t - 4)$。在$y = x + 2$中，当$y = 0$时，$x = -2$，$\therefore A(-2,0)$，$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$，$\therefore S_{\triangle AQC} = 2S_{\triangle ABC} = 12$。当点Q在点C的上方时，如图①　　　　　　　　　则$S_{\triangle AQC} = S_{\triangle ABQ} - S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × 3(4t - 4) - 6 = 12$，解得$t = 4$，$\therefore Q(4,12)$；当点Q在点C的下方时，如图②，　　　　　　　　　　则$S_{\triangle AQC} = \frac{1}{2} × 3(4 - 4t + 4) = 12$，解得$t = 0$，$\therefore Q(0,-4)$。综上所述，点Q的坐标为$(4,12)$或$(0,-4)$。