《2025年启航新课堂八年级数学上册北师大版》

15. (2025重庆八中期中)某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车,据了解,3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元;2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元.
(1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价;
(2)由于新能源汽车需求不断增加,该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆,已知中级型汽车的售价为27万元/辆,紧凑型汽车的售价为20万元/辆.根据销售经验,计划购进中级型汽车的数量不低于25辆.设购进$a$辆中级型汽车,100辆车全部售完获利$W$万元,则该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆才能使$W$最大?$W$最大为多少万元?

答案： $(1)$求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价
设中级型汽车的进货单价为$x$万元/辆，紧凑型汽车的进货单价为$y$万元/辆。
根据“$3$辆中级型汽车、$2$辆紧凑型汽车的进价共计$104$万元”可列方程$3x + 2y = 104$；
根据“$2$辆紧凑型汽车比$3$辆中级型汽车的进价少$40$万元”可列方程$3x - 2y = 40$。
将两个方程联立得方程组$\begin{cases}3x + 2y = 104\\3x - 2y = 40\end{cases}$
将两个方程相加消去$y$可得：
$\begin{aligned}3x + 2y+3x - 2y&=104 + 40\\6x&=144\\x&=24\end{aligned}$
把$x = 24$代入$3x + 2y = 104$得：
$\begin{aligned}3×24 + 2y&=104\\72 + 2y&=104\\2y&=104 - 72\\2y&=32\\y&=16\end{aligned}$
所以中级型汽车的进货单价为$24$万元/辆，紧凑型汽车的进货单价为$16$万元/辆。
$(2)$求购进中级型和紧凑型汽车的数量使$W$最大及$W$的最大值
已知购进$a$辆中级型汽车，则购进紧凑型汽车$(100 - a)$辆。
每辆中级型汽车的利润为$27 - 24 = 3$万元，每辆紧凑型汽车的利润为$20 - 16 = 4$万元。
则$W = 3a + 4(100 - a)$
化简可得：
$\begin{aligned}W&=3a + 400 - 4a\\W&=-a + 400\end{aligned}$
因为$k=-1\lt0$，所以$W$随$a$的增大而减小。
又因为计划购进中级型汽车的数量不低于$25$辆，即$a\geqslant25$。
所以当$a = 25$时，$W$有最大值，$W_{max}=-25 + 400 = 375$（万元），此时$100 - a = 100 - 25 = 75$（辆）。
综上，$(1)$中级型汽车进货单价为$24$万元/辆，紧凑型汽车进货单价为$16$万元/辆；$(2)$购进中级型汽车$25$辆，紧凑型汽车$75$辆时$W$最大，$W$最大为$375$万元。

16. 某校由七、八两个年级共17名同学组成了“垃圾分类宣传”志愿者小队,他们对本校每天的生活垃圾收集情况进行调查统计后发现:
①由于宣传到位,学校现在每天生活垃圾的重量比原来每天400千克下降了20%;
②可回收物重量和干垃圾重量之和占现在每天生活垃圾重量的$\dfrac{1}{2}$,可回收物中废纸占70%;
③由于部分同学对干垃圾的认识还不够清楚,因此,发现干垃圾中还有20%的废纸;
④可回收物中的废纸与干垃圾中的废纸合在一起共重82千克.
根据上述信息回答下面的问题:
(1)学校现在每天的可回收物和干垃圾各为多少千克?
(2)回收1吨废纸,大约可以少砍17棵大树,“垃圾分类宣传”志愿者小队中的部分成员计划每天放学后开展将干垃圾中的废纸清理出来的活动,已知七、八年级每个学生清理干垃圾的效率分别为3千克/5分钟、5千克/5分钟,问如何分配人员参与活动,恰好5分钟将所有干垃圾清理完毕?(两个年级均要有学生参加)

答案：
(1)学校现在每天的可回收物为100千克，干垃圾为60千克。
(2)七年级10名学生参与活动，八年级6名学生参与活动；或七年级5名学生参与活动，八年级9名学生参与活动。