《2025年启航新课堂八年级数学上册北师大版》

10. 若 $a,b,c$ 为一组勾股数,且 $a ＜ b ＜ c$,则下列结论;
①$a^{2}+b^{2}= c^{2}$;
②$a,b,c$ 中必有一个是偶数;
③$a,b$ 中必有一个能被 $3$ 整除,必有一个能被 $4$ 整除,且 $a,b,c$ 中必有一个能被 $5$ 整除.
其中正确的有①②③.(填序号)

答案： ①②③

11. 如图,$C$ 为直线 $l$ 上的一个动点,$AD\perp l$ 于点 $D,BE\perp l$ 于点 $E$,点 $E$ 在点 $D$ 的右侧,并且点 $A,B$ 在直线 $l$ 同侧,$AD = DE = 8,BE = 2$.当 $CD$ 的长为6 或 4 或$\frac{13}{2}$时,$\triangle ABC$ 为直角三角形.

答案： 6 或 4 或$\frac{13}{2}$

12. 若直角三角形的三边的长都是正整数,则三边的长为“勾股数”.构造勾股数,就是要寻找 $3$ 个正整数,使它们满足“其中两个数的平方和(或平方差)等于第三个数的平方”,即满足以下关系:
$( )^{2}+( )^{2}= ( )^{2}$;①
$( )^{2}-( )^{2}= ( )^{2}$;②
要满足以上①②的关系,可以从乘法公式入手,我们知道:
$(x + y)^{2}-(x - y)^{2}= 4xy$.③
如果等式③的右边也能写成“$( )^{2}$”的形式,那么它就符合②的关系.
因此,只要设 $x = m^{2},y = n^{2}$,③式就可化成 $(m^{2}+n^{2})^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}= (2mn)^{2}$.
于是,当 $m,n$ 为任意正整数,且 $m ＞ n$ 时,“$m^{2}+n^{2},m^{2}-n^{2},2mn$”就是勾股数,根据勾股数的这种关系式,就可以找出勾股数.
(1)当 $m = 2,n = 1$ 时,该组勾股数是3,4,5;
(2)若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为 $72$,且 $m - n = 1$,求 $m,n$ 的值;$m = 6,n = 5$
(3)若一组勾股数中最大的数是 $2p^{2}+6p + 5$($p$ 是任意正整数),则另外两个数分别为$2p + 3$,$2p^{2} + 6p + 4$.(分别用含 $p$ 的代数式表示)

答案：
(1)3,4,5;
(2)$m = 6,n = 5$.
(3)$2p + 3,2p^{2} + 6p + 4$.