《2025年启航新课堂八年级数学上册北师大版》

勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
我们把像3，4，5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.

答案： $a^{2}+b^{2}=c^{2}$；正整数

例1 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C的对边分别是a$,$b$,$c$.
(1)若$a= 7$,$b= 24$,则$c= $25；
(2)若$a:b= 3:4$,$c= 25$,则$b= $20.

答案：
(1)25；
(2)20

例2 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.若图中的直角三角形的长直角边是12,大正方形的面积是169,则小正方形的面积是(C)

A. 25
B. 36
C. 49
D. 64

答案： C

例3 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= 3$,$AC= 4$,$BC= 5$,$AD是\triangle ABC$的角平分线,$DE\perp AC于点E$,则$DE$的长是$\frac{12}{7}$.

答案： $\frac{12}{7}$

例4 (1)《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题,老师对其进行改编：“今有葭生方池中央,出水一尺,引葭七尺赴岸,适与岸齐,问水深几何？”题意为：有一个底面为正方形的池塘,在池塘正中央有一根芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,拉动7尺后(即$BC= 7$尺)它的顶端恰好碰到池边的水面,则水深为____24尺；


(2)如图,一个圆柱形容器的高为8dm,底面半径为$\frac{9}{\pi}dm$,在容器内壁的中点$B$处有一只蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁的底部与蚊子相对的点$A$处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为____15dm.(容器厚度忽略不计)

答案：
(1)24；
(2)15