《2025年启航新课堂八年级数学上册北师大版》

13. 解下列方程组:
(1)$\begin{cases}5x - y = -6,\\5x + 3y = -2;\end{cases}$______
(2)$\begin{cases}x - 4y = -1,\\2x + y = 16;\end{cases}$______
(3)$\begin{cases}3x - 5y = 3,\\\dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} = 1;\end{cases}$______
(4)$\begin{cases}3x + 2y + z = 14,\\x + y + z = 10,\\2x + 3y - z = 1.\end{cases}$______

答案： $(1)$解方程组$\begin{cases}5x - y = -6 \\5x + 3y = -2 \end{cases}$
解：
用第二个方程$5x + 3y = -2$减去第一个方程$5x - y = -6$，可得：
$(5x + 3y)-(5x - y)=-2-(-6)$
$5x + 3y - 5x + y=-2 + 6$
$4y = 4$
解得$y = 1$。
把$y = 1$代入$5x - y = -6$，得$5x-1=-6$，$5x=-6 + 1$，$5x=-5$，解得$x=-1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=-1 \\y = 1 \end{cases}$。
$(2)$解方程组$\begin{cases}x - 4y = -1 \\2x + y = 16 \end{cases}$
解：
由$x - 4y = -1$可得$x = 4y - 1$。
把$x = 4y - 1$代入$2x + y = 16$，得$2(4y - 1)+y = 16$。
去括号：$8y-2 + y = 16$。
移项合并：$9y=16 + 2$，$9y = 18$，解得$y = 2$。
把$y = 2$代入$x = 4y - 1$，得$x=4×2-1=7$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 7 \\y = 2 \end{cases}$。
$(3)$解方程组$\begin{cases}3x - 5y = 3 \\\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=1 \end{cases}$
解：
对$\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=1$两边同时乘以$6$去分母得$3x-2y = 6$。
用$3x-2y = 6$减去$3x - 5y = 3$，可得：
$(3x-2y)-(3x - 5y)=6 - 3$
$3x-2y-3x + 5y=3$
$3y = 3$，解得$y = 1$。
把$y = 1$代入$3x - 5y = 3$，得$3x-5×1=3$，$3x=3 + 5$，$3x = 8$，解得$x=\dfrac{8}{3}$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=\dfrac{8}{3} \\y = 1 \end{cases}$。
$(4)$解方程组$\begin{cases}3x + 2y + z = 14 \\x + y + z = 10 \\2x + 3y - z = 1 \end{cases}$
解：
将第一个方程$3x + 2y + z = 14$与第三个方程$2x + 3y - z = 1$相加，可得：
$(3x + 2y + z)+(2x + 3y - z)=14 + 1$
$5x + 5y = 15$，化简得$x + y = 3$ ①。
将第二个方程$x + y + z = 10$与第三个方程$2x + 3y - z = 1$相加，可得：
$(x + y + z)+(2x + 3y - z)=10 + 1$
$3x + 4y = 11$ ②。
由①得$x = 3 - y$，把$x = 3 - y$代入②得：
$3(3 - y)+4y = 11$
$9-3y + 4y = 11$
$y = 11 - 9$，解得$y = 2$。
把$y = 2$代入①得$x + 2 = 3$，解得$x = 1$。
把$x = 1$，$y = 2$代入$x + y + z = 10$，得$1 + 2+z = 10$，解得$z = 7$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 1 \\y = 2 \\z = 7 \end{cases}$。

14. 在解方程组$\begin{cases}ax + 4y = 23,\\3x - by = 5\end{cases} $时,由于粗心,甲看错了方程中的$a$,得到的解为$\begin{cases} x=7, \\ y=-1 \end{cases}$乙看错了方程中的$b$,得到的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=4 \end{cases}$
(1)求$a^2 - 2ab + b^2$的值;9
(2)求原方程组的正确解.$\begin{cases} x=3,\\ y=2.\end{cases}$

答案：
(1)$a^{2}-2ab+b^{2}=9$。
(2)$\left\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=2.\end{array}\right. $