《2025年启航新课堂八年级数学上册北师大版》

3. (2025双流区期末)我国古代称直角三角形为“勾股形”,并且直角边中较短边为勾,另一直角边为股,斜边为弦.如图①所示,数学家刘徽将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图②所示的长方形.是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成的.若$AC = 6$,$CD = 2$,则长方形的面积为______48.

答案： 48

例2 如图,一快艇以每小时12海里的速度离开A地,向西北方向航行,同时另一小船以每小时5海里的速度离开A地,向西南方向航行.求1小时后快艇与小船之间的距离.13海里

答案： 解：
1. 首先求$AC$和$AB$的长度：
已知快艇速度$v_{1}=12$海里/小时，航行时间$t = 1$小时，根据路程公式$s=vt$，则$AC=v_{1}t=12×1 = 12$海里。
已知小船速度$v_{2}=5$海里/小时，航行时间$t = 1$小时，根据路程公式$s = vt$，则$AB=v_{2}t=5×1 = 5$海里。
2. 然后判断$\triangle ABC$的形状：
因为快艇向西北方向航行，小船向西南方向航行，所以$\angle CAB = 90^{\circ}$，$\triangle ABC$是直角三角形。
3. 最后根据勾股定理求$BC$的长度：
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$BC=\sqrt{AC^{2}+AB^{2}}$（$BC$为斜边）。
把$AC = 12$海里，$AB = 5$海里代入公式，得$BC=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13$海里。
答：1小时后快艇与小船之间的距离是13海里。

4. 如图,一根树在离地面9米处断裂,树的顶部落在离底部12米处,则树折断之前为24米.

答案： 1. 首先，根据勾股定理：
设树折断部分的长度为$x$米。已知树离地面$9$米处断裂，顶部落在离底部$12$米处，由勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a = 9$，$b = 12$，$c$为直角三角形斜边，即树折断部分长度）。
则$x=\sqrt{9^{2}+12^{2}}$。
2. 然后，计算$x$的值：
先计算$9^{2}+12^{2}$：
$9^{2}=81$，$12^{2}=144$，所以$9^{2}+12^{2}=81 + 144=225$。
那么$x=\sqrt{225}$，因为$\sqrt{225}=15$（$15×15 = 225$）。
3. 最后，求树折断前的高度：
树折断前的高度$h$等于折断部分长度$x$加上未折断部分长度（离地面高度）。
未折断部分长度为$9$米，所以$h=x + 9$。
把$x = 15$代入得$h=15 + 9=24$米。
故答案为：$24$。

5. 小明买了一个年画风筝,并进行了试放,如图,为了解决一些问题,他设计了如下的方案:先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m;根据手中余线长度,计算出AC的长为17m;牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m.已知点A,B,C,D在同一平面内.求风筝离地面的垂直高度CD为9.5m.

答案： 解：过点$A$作$AE\perp CD$于点$E$。
因为$AB\perp BD$，$CD\perp BD$，$AE\perp CD$，所以四边形$ABDE$是矩形，则$AE = BD = 15m$，$DE = AB = 1.5m$。
在$Rt\triangle AEC$中，$\angle AEC = 90^{\circ}$，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），可得$CE=\sqrt{AC^{2}-AE^{2}}$。
已知$AC = 17m$，$AE = 15m$，则$CE=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=\sqrt{(17 + 15)(17 - 15)}=\sqrt{32×2}=\sqrt{64}=8m$。
所以$CD=CE + DE=8 + 1.5=9.5m$。
综上，风筝离地面的垂直高度$CD$为$9.5m$。