《2025年启航新课堂八年级数学上册北师大版》

3. (2025 渝北区月考) 如图①,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$∠ABC = 90^{\circ}$,$AB = 3$,$BC = 4$,$M$ 为 $BC$ 的中点,动点 $P$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度从点 $M$ 出发,沿折线 $M→B→A$ 运动,设运动时间为 $t$ 秒,$\triangle APC$ 的面积为 $S$。
(1) 求出 $S$ 关于 $t$ 的函数表达式,并注明自变量 $t$ 的取值范围；
$S =$$\begin{cases} \frac{3}{2}t + 3(0 \leq t ＜ 2), \\ -2t + 10(2 \leq t ＜ 5). \end{cases}$
(2) 在如图②所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象,并写出该函数的一条性质；
性质:当 $ 0 ＜ t ＜ 2 $ 时, $ S $ 随 $ t $ 的增大而增大; 当 $ 2 ＜ t ＜ 5 $ 时, $ S $ 随 $ t $ 的增大而减小(答案不唯一)
(3) 当 $4 ＜ S≤6$ 时,直接写出 $t$ 的取值范围。
$\frac{2}{3} ＜ t ＜ 3$

答案：
(1) $ S $ 关于 $ t $ 的函数表达式为 $ S = \begin{cases} \frac{3}{2}t + 3(0 \leq t ＜ 2), \\ -2t + 10(2 \leq t ＜ 5). \end{cases} $
(2) 函数图象略. 性质: 当 $ 0 ＜ t ＜ 2 $ 时, $ S $ 随 $ t $ 的增大而增大; 当 $ 2 ＜ t ＜ 5 $ 时, $ S $ 随 $ t $ 的增大而减小. (答案不唯一)
(3) $ \frac{2}{3} ＜ t ＜ 3 $.

4. 如图①,长方形 $ABCD$ 的边长为 $AB = 4$,$AD = 3$,$E$,$F$ 分别在边 $AD$,$AB$ 上,且 $DE = BF = 2$,$P$ 是长方形边上的一个动点,点 $P$ 从点 $B$ 出发,经过点 $C$,到点 $D$ 停止。记点 $P$ 走过的路程为 $x$,四边形 $AEPF$ 的面积为 $y_1$,其中 $0 ＜ x ＜ 7$。
(1) 请直接写出 $y_1$ 关于 $x$ 的函数关系式,并注明自变量 $x$ 的取值范围；
(2) 在如图②所示的平面直角坐标系中画出 $y_1$ 的函数图象,并写出该函数的一条性质：______当 $ 0 ＜ x ＜ 3 $ 时, $ y_1 $ 随 $ x $ 的增大而增大, 当 $ 3 ＜ x ＜ 7 $ 时, $ y_1 $ 随 $ x $ 的增大而减小；
(3) 若关于 $x$ 的函数 $y = kx + 3$ 与 $y_1$ 的图象有两个交点,则 $k$ 的取值范围为______$ 0 ＜ k ＜ \frac{2}{3} $；若关于 $x$ 的函数 $y = x + b$ 与 $y_1$ 的图象有一个交点,则 $b$ 的取值范围为______$ -4 ＜ b ＜ 2 $；若关于 $x$ 的函数 $y = kx + 4 - k$ 与 $y_1$ 的图象有两个交点,则 $k$ 的取值范围为______$ -\frac{1}{6} ＜ k ＜ \frac{1}{2} $ 且 $ k \neq 0 $。
(1) $ y_1 = \begin{cases} x + 2(0 ＜ x \leq 3), \\ -\frac{1}{2}x + \frac{13}{2}(3 ＜ x ＜ 7). \end{cases} $

答案：
(1) $ y_1 = \begin{cases} x + 2(0 ＜ x \leq 3), \\ -\frac{1}{2}x + \frac{13}{2}(3 ＜ x ＜ 7). \end{cases} $
(2) $ y_1 $ 的函数图象略. 当 $ 0 ＜ x ＜ 3 $ 时, $ y_1 $ 随 $ x $ 的增大而增大, 当 $ 3 ＜ x ＜ 7 $ 时, $ y_1 $ 随 $ x $ 的增大而减小;
(3) $ 0 ＜ k ＜ \frac{2}{3} $, $ -4 ＜ b ＜ 2 $, $ -\frac{1}{6} ＜ k ＜ \frac{1}{2} $ 且 $ k \neq 0 $