《2025年启航新课堂八年级数学上册北师大版》

10. 周末,小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼,运动场一圈的路程为400米。
(1)若两人同时同起点相向而跑,则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑,则经过180秒后,爸爸首次从后面又追上小明,求小明和他爸爸的速度；
(2)假设爸爸的速度是6米/秒,小明的速度是5米/秒。两人进行400米赛跑,同时同起点同向出发,等爸爸跑到半圈时,故意降速为4米/秒。按此继续比赛,小明能否在400米终点前追上爸爸？如果能,求追上时距离终点还有多少米；如果不能,请说明理由。

答案： $(1)$求小明和他爸爸的速度
设小明的速度是$x$米/秒，爸爸的速度是$y$米/秒。
根据相向而跑的情况列方程：
两人同时同起点相向而跑，经过$36$秒后首次相遇，此时两人跑的路程之和为$400$米，根据路程$=$速度$×$时间，可列方程$36x + 36y = 400$，化简得$x + y=\frac{400}{36}=\frac{100}{9}$ ①。
根据同向而跑的情况列方程：
两人同时同起点同向而跑，经过$180$秒后爸爸首次从后面又追上小明，此时爸爸比小明多跑了一圈（$400$米），可列方程$180y - 180x = 400$，化简得$y - x=\frac{400}{180}=\frac{20}{9}$ ②。
求解方程组：
由①$+$②得：$(x + y)+(y - x)=\frac{100}{9}+\frac{20}{9}$，即$2y=\frac{120}{9}$，解得$y=\frac{20}{3}$。
把$y = \frac{20}{3}$代入①得：$x+\frac{20}{3}=\frac{100}{9}$，$x=\frac{100}{9}-\frac{20}{3}=\frac{100}{9}-\frac{60}{9}=\frac{40}{9}$。
所以小明的速度是$\frac{40}{9}$米/秒，爸爸的速度是$\frac{20}{3}$米/秒。
$(2)$判断小明能否在$400$米终点前追上爸爸
计算爸爸跑到半圈所用时间：
爸爸速度是$6$米/秒，半圈路程为$400÷2 = 200$米，根据时间$=$路程$÷$速度，爸爸跑到半圈所用时间$t_1=\frac{200}{6}=\frac{100}{3}$秒。
计算此时小明跑的路程：
小明速度是$5$米/秒，根据路程$=$速度$×$时间，小明跑的路程$s_1 = 5×\frac{100}{3}=\frac{500}{3}$米。
设爸爸降速后$t_2$秒小明追上爸爸：
爸爸降速为$4$米/秒，此时爸爸跑的路程$s_{爸}=200 + 4t_2$，小明跑的路程$s_{明}=\frac{500}{3}+5t_2$。
当小明追上爸爸时，$s_{爸}=s_{明}$，即$200 + 4t_2=\frac{500}{3}+5t_2$。
移项可得：$5t_2-4t_2=200 - \frac{500}{3}$，$t_2=\frac{600 - 500}{3}=\frac{100}{3}$秒。
计算追上时爸爸跑的总路程：
爸爸跑的总路程$s = 200+4×\frac{100}{3}=200+\frac{400}{3}=\frac{600 + 400}{3}=\frac{1000}{3}\approx333.3$米$＜ 400$米。
计算追上时距离终点的距离：
距离终点的距离$d = 400-\frac{1000}{3}=\frac{1200 - 1000}{3}=\frac{200}{3}$米。
所以小明能在$400$米终点前追上爸爸，追上时距离终点还有$\frac{200}{3}$米。
综上，答案依次为：$(1)$小明速度$\boldsymbol{\frac{40}{9}}$米/秒，爸爸速度$\boldsymbol{\frac{20}{3}}$米/秒；$(2)$能，$\boldsymbol{\frac{200}{3}}$米。