《2025年启航新课堂八年级数学上册北师大版》

8. 下面是小航同学的错题,请你帮助他完成错题整理:
错题:如图,在$\triangle ABC$中,已知$AB= 10,BC= 9$,$AC= 17$,求$\triangle ABC$的面积.
分析:作辅助线,构造直角三角形,设未知数并列方程,求解,最后求出面积.
正解:
解:过点$A作AD⊥CB交CB的延长线于点D$,则$∠ADC= 90^{\circ }$.
设$BD= x$,则$CD= 9+x$,
…
(1)根据勾股定理,得$AD^{2}=$$100-x^{2}$或$289-(9+x)^{2}$;(用含$x$的代数式表示)
(2)请你补全上面的过程,并求出$\triangle ABC$的面积.

(2)由(1)知$AD^{2}=100-x^{2}$且$AD^{2}=289-(9+x)^{2}$，所以$100-x^{2}=289-(9+x)^{2}$，展开得$100-x^{2}=289-(81+18x+x^{2})$，$100-x^{2}=289-81-18x-x^{2}$，$100=208-18x$，$18x=108$，$x=6$，则$AD^{2}=100-6^{2}=64$，$AD=8$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×9×8=36$。故$\triangle ABC$的面积为36。

答案：
(1)$100-x^{2},289-(9+x)^{2}$;
(2)$S_{\triangle ABC}=36$.

9. 如图,在四边形$ABCD$中,$∠ABC= ∠CDA= 90^{\circ }$,分别以四边形$ABCD$的四条边为边长,向外作四个正方形,面积分别为$S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$. 若$S_{1}= 8,S_{2}= 11,S_{3}= 15$,则$S_{4}$的值为______18.

答案： 18

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠ABC= 90^{\circ },AB= 18,D是边AB$的中点,$AE⊥AB$,垂足为$A$,连接$CD$,$CE$,$CD平分∠BCE$,且$CE= 10AE,AE= 3$,则四边形$ADCE$的面积为______$\frac{297}{2}$.

答案： $\frac{297}{2}$

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC,AD⊥BC于点D$,$∠CBE= 45^{\circ },BE分别交AC,AD于点E,F$.
(1)如图①,若$AB= 13,BC= 10$,求$AF$的长;7
(2)如图②,若$AF= BC$,求证:$BF^{2}+EF^{2}= AE^{2}$.证明略

答案：
(1)$AF=7$.
(2)证明略.