《2025年启航新课堂八年级数学上册北师大版》

5. 阅读下列材料,然后解答问题.
在进行二次根式运算时,我们有时会碰上$\frac {2}{\sqrt {3}+1}$这样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:
$\frac {2}{\sqrt {3}+1}= \frac {2×(\sqrt {3}-1)}{(\sqrt {3}+1)×(\sqrt {3}-1)}= \frac {2×(\sqrt {3}-1)}{(\sqrt {3})^{2}-1^{2}}= \sqrt {3}-1$.
以上这种化简的步骤叫作分母有理化.
(1)化简$\frac {2}{\sqrt {5}+\sqrt {3}}$;$\sqrt{5}-\sqrt{3}$
(2)已知$\frac {1}{2-\sqrt {3}}$的整数部分为a,小数部分为b,求$a^{2}+b^{2}$的值.$13-2\sqrt{3}$

答案：
(1) $\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$.
(2) $a^{2}+b^{2}=13-2\sqrt{3}$.

6. 比较大小:
(1)$\frac {1}{\sqrt {6}-\sqrt {5}}与\frac {1}{\sqrt {7}-\sqrt {6}}$;
(2)$\frac {1}{\sqrt {n}-\sqrt {n-1}}与\frac {1}{\sqrt {n+1}-\sqrt {n}}(n≥2$,且n为整数).

答案：
(1) $\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}＜\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}$;
(2) $\frac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}＜\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$.

7. 【材料】$\sqrt {2}+\sqrt {3}= \frac {(\sqrt {2}+\sqrt {3})(\sqrt {2}-\sqrt {3})}{\sqrt {2}-\sqrt {3}}= \frac {-1}{\sqrt {2}-\sqrt {3}}= \frac {1}{\sqrt {3}-\sqrt {2}}$,我们把这种变形的方法叫作分子有理化.
【问题】采用分子有理化,比较下列式子的大小:$\sqrt {15}-\sqrt {14}与\sqrt {14}-\sqrt {13}$.$\sqrt{15}-\sqrt{14}＜\sqrt{14}-\sqrt{13}$

答案： $\sqrt{15}-\sqrt{14}＜\sqrt{14}-\sqrt{13}$.